递归的Theta运行时

Question

如何计算此给定代码的Theta运行时：

void f(int n)
{
    for (int i=3; i<n; ++i)
        for (int j=0; j<i; ++j)
            f(n-1);
}

到目前为止，我得到了这个，但我不知道它是否正确或如何将它带入Theta表示法。

f(n) = n^2 * f(n-1)
f(n) = n^2 * (n-1)^2 * f(n-2)
f(n) = n^2 * (n-1)^2 * (n-2)^2 * f(n-3) 
...

Answer 1

由于每个嵌套的for循环都是O（N ^ 2）复杂度，并且每次在另一个函数内部调用函数时，复杂性都会成倍增加，最终会得到O（（N！）^ 2），其中{ {1}}也是你递归的次数。这当然是因为N，并且用于创建阶乘的所有值都是平方的。

Answer 2

如果我们用零替换3（这显然不会改变任何关于Θ的东西），我们可以非常容易地得出函数调用的确切数量：

  

Θ _{f （ 1 ）} = 1
  Θ _{f （ n ）} = n ² ⋅Θ _{f （ n -1）}∀ n ＆gt; 0

所以，使用产品的交换性，

  

_{n n n}
  Θ _{f （ n ）} =Π j ² =Π j ⋅Π j = n ！ ⋅ n ！
   i = 1 i = 1 i = 1
=（ n ！） ^2功能

正如杰森所说。