具有Theta（...）特定运行时的递归函数

Question

我坚持从算法课程中学到的这项功课：

  

使用Theta（n ^ 4 logn）的运行时编写递归函数。

我认为这样的事情，但我对自己的做法非常不确定。

function(int n)
{
   for-loop (1..n^4)
     //do something

   return function(n/2);
}

Answer 1

你应该不确定，你的功能有一些问题：

1. 它没有初始值，并且永远运行。

2. 如果为函数设置初始值，则为：

   T（n）= T（n / 2）+ O（n ^ 4）

并且通过主定理，这是Θ（n ^ 4）。

提示：你应该增加T(n/2)的系数，但是多少？自己找。对于这种增加，您可以将其称为x次。

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当我们有这样的递归时，由Master定理log n发生：

  

T（n）= a T（n / b）+ n ^{a / b}

在你的情况下，你有一个/ b = 4，所以你可以修复b = 2和a = 8来实现这一点。

  

T（n）= 8T（n / 2）+ n ⁴

到达此处，你可以拨打T（n / 2）8次。

Answer 2

提示：n ⁴ 可以是从1到n的四个嵌套循环。对数运行时间因子通常是通过递归地将问题大小减半直到达到1来获得的。您的提议类型有效，但是非常直率而且您甚至可以做到

func(int n)
  for i = 1 to n^4 log n
     nop()

但我不相信这是正在寻找的东西。

Answer 3

你的方法是理智的，你的不安全是正常的。您现在应该证明您的算法是Theta（n ^ 4 log n）。应用您的常规算法分析技术，以显示function执行do something n ^ 4 log_2 n次。

提示：计算递归调用function的次数以及循环在每次调用中运行的频率。您会看到您的功能中仍然存在一个小错误;每次递归调用都会减少n因子的n^4。