递归函数（Theta）的渐近时间复杂度

Question

我被要求分析以下递归函数的渐近时间复杂度：

for-all k ≥ 1:
T(n) = n + T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + .... + T(n/2^k)

我能够证明：
T(n) = O(n⋅log n)和T(n) = Ω(n)，
但我正在寻找一个更严格的界限（Big Theta）。

Answer 1

首先：
我通过这种方式理解“ for-all k＆gt; = 1 ”：k = 1到k = m其中2m-1 ≤ n ≤ 2m。
基本上m = log₂(n)成立了。

看看我的计算：

T(n) = n + Σk=1,...,m T(n/2k)
     = n + T(n/2) + Σk=2,...,m T(n/2k)
     = n +  n/2 + 2⋅Σk=2,...,m T(n/2k)
     = ...
     = n + Σk=1,...,m k⋅n/2k
     = n + n⋅Σk=1,...,m k/2k
     = n + n⋅(2 - 2-mm - 21-m)
     ≤ n + 2⋅n
     = 3n

所以T(n)位于Θ(n)。

注意：
您还可以通过积分Σk=1,...,m k/2k估算s(m) = ∫1m k/2k dk 此处limm → ∞s(m) = 2也有效。