Question

我被要求开发一个递归函数，然后分析渐近时间复杂度。

f(N) = 0, if N < N1

f(N1) = C1

f(N)= A1 + M1*f(M2*N/D1 - S1) Op M3*f(M4*N/D2 - S2), if N > N1

我们假设：

s1 = s2 = 0

m2 = m4 = 1

d1 = d2> 1

//the user enters N1 C1 A1 M1 M2 M3 M4 D1 D2 S1 S2 and then ARG

int Recursion_Plus(int ARG)
{

    if (ARG < n1)
    {
        return 0;
    }

    else if(ARG == n1)
   {
    return c1;
   }

   else if(ARG > n1 )
   {

    return a1 + m1 
    * 
    Recursion_Plus(m2*ARG/d1 - s1) 
    + 
    m3*Recursion_Plus(m4*ARG/d2 - s2);

   }

}

我已经针对教师的程序测试了我的递归函数，它的工作原理完全一样，所以我转到了我的分析，我已经碰壁了。

我正在努力将我的大脑包裹起来，所以请耐心等待。

我尝试部分解决方案：

2次比较（如果ARG＆lt; N1＆amp;如果ARG == N1）需要1个单位时间

a1＆amp; m1＆amp; m3是微不足道的，因为它们不在递归调用中

a1 + m1 * _ = 1个时间单位（加法）

m1 * _ = 1个时间单位（乘法）

将2个递归调用加在一起是1个时间单位

m3 * _ = 1个时间单位（乘法）

根据我们给出的指令，每次都使用相同的＃调用两个递归函数，并且递归函数调用的每个连续数将小于最后一个，因为d1 = d2＆gt; 1。

因此，较大的ARG（与n1相比），到达基本情况所需的时间越长，结果就越大。那么算法需要O（ARG）时间？

如果我走在正确的轨道上，如果有人能让我知道，我会很感激。感谢

Answer 1

递归调用是：

f(N)= A1 + M1*f(M2*N/D1 - S1) Op M3*f(M4*N/D2 - S2), if N > N1

与

s1 = s2 = 0
m2 = m4 = 1
d1 = d2 > 1

我们有

f(N)= A1 + M1*f(N/D1) Op M3*f(N/D1), if N > N1

递归调用是获得渐近复杂度的关键点，其余的是“只是”常量。

所以重点是找到如：

的T.

T(n)=2*T(n/D)

一旦找到T（n），你就得到了Recursion_Plus的调用次数，因为我们所说的渐近复杂性与最后一次调用无关（即n<N1）。

现在一切都是关于数学的，我不会在这里描述一个正式的解决方案，但只要有一点直觉就可以得到结果。

T的每次调用都会引发2次T调用，但是#D除以D，然后4次调用＃divide除以D ^ 2 ...

复杂度为2^(logD(n))（logD(n)=ln(N)/ln(D) )

特殊情况：with D=2, the complexity is n

Answer 2

请注意，在每个递归级别上，您都会调用该函数两次。因此，从第一次调用c1开始，它会自行调用两次：c21和c22，然后从这些调用中再次调用两次：c211，c212 ，c221和c222等。在每个递归级别，您有两次以上的呼叫。在第N级，你将有2 ^ n个调用，因此它具有指数复杂性。

编辑：抱歉，我的不好。我没有注意到那个论点是分开的。在那种情况下，不会有N级，只有log _d（N），其余的都是Tony写的。

递归函数的渐近时间复杂度

2 个答案: