计算几何 - 将2D点投影到平面上以确定其3D位置

Question

以下是我想弄清楚的事情。

问题 - 解释如何将2D点投影到平面上以创建3D点。

我想知道如何解决这个问题。我查看了一本计算几何书，并查找了与我想要弄清楚的内容有关的任何内容。没有给出关于计算几何问题的信息。事情是我对计算几何学一无所知＆lt;所以搞清楚这一点是我所不知道的。

有人能指出我正确的方向吗？

Answer 1

如果我理解正确，您希望将2D平面上的点投影到具有不同方向的平面上。我还假设您正在寻找正交投影（即，xy平面的所有点都将投影到目标平面上的最近点）。

所以我们有两个平面的方程和我们想要投射的点：

原始2D平面：z = 0，法线向量n1 =（0,0,1）

目标平面：ax + by + cz + d = 0，法线向量n2 =（a，b，c）

点P :( e，f，0）显然位于xy平面

现在，我们想要从目标平面法线方向的P点开始（因为这将给出目标平面上最近的点）。因此，我们形成一个从P点开始的线的方程，它与目标平面的法向量平行。

线L：（x，y，z）=（e，f，0）+ t（a，b，c）=（e + ta，f + tb，tc），其中t是实值参数

接下来，我们想在线L上找到一个也位于目标平面上的点。因此，我们将线方程插入目标平面的方程式并接收：

a（e + ta）+ b（f + tb）+ c * tc + d = 0

ae + bf + d + t（a ² + b ² + c ² ）= 0

t = - （ae + bf + d）/（a ² + b ² + c ² ）

因此预计的点将是：

P _投影 =（e + ka，f + kb，kc），其中k = - （ae + bf + d）/（a ² + b ² + c ² ）

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解决方案中的所有变量，如果您是该区域的新手，可能会有点难以理解。但实际上，这很简单。你必须学习的东西是：

• 平面的标准公式：ax + by + cz + d = 0
• 如何从平面方程中提取法向量
• 法线向量是什么（垂直于平面中所有位置向量的向量）
• 一条线的参数化表示：（x，y，z）= u + t * v *，其中 u 是位于线上的点，t是实值参数， v 是与线平行的矢量。
• 理解点和平面之间的最近路径将平行于平面的法线

如果你掌握了上述概念，计算投影很简单：

计算目标平面的法向量。从您想要投影的点开始，平行于计算的法向量，直到到达平面。