设P是具有n个顶点的3D凸多面体 1.给定一个以任意点q作为输入的算法，如何在O（n）时间内确定q是在凸多面体的内部还是外部？ 2.我可以进行一些处理以使其成为O（logn）吗？
答案 0 :(得分：1)
对于（1），如果你有一个带有n个顶点的凸多面体，那么你也有O（n）个面。可以对每个面进行三角测量，总的来说它仍然是O（n）个三角形。现在取查询点q并检查三角形q的哪一侧。该检查对于一个三角形采用O（1），因此对于所有三角形采用O（n）。 编辑：O（n）面定义O（n）面。只需检查q是否位于所有飞机的同一侧。
对于（2），（我没有找到这个的来源但看起来合理）可以将多面体P投影为P'到一个平面上。 P'可以看作是两个单独的平面图，一个图表U'表示多面体的上部，另一个图表L'表示下部。在L'和U'中总共有O（n）个面。现在可以通过Kirkpatrick optimal planar subdivision算法预处理L'和U'。 （其他来源：1和2）这样可以在PSLG（平面直线图）检查中启用O（log n）点。
现在使用查询点q并将其投影到具有相同投影的同一平面，可以查看L'和U'的面，它位于O（log n）时间内。在3D中，每个面都位于一个平面中。现在我们检查q在哪一侧q是否知道q是否在多面体内。
答案 1 :(得分：1)
（2）的另一种方法是将多面体空间细分为 slubs - 金字塔，其顶点位于多面体质心和多面体面作为基础。此类楼板的数量为O(n)。您可以构建一个二进制空间分区树（BSP），由这些俱乐部组成（可能分为子俱乐部） - 如果它是平衡的，那么点位置将在O(logn)时间内起作用
当然，如果您需要多次调用点位置函数，这将是有意义的 - 因为此处的预处理步骤将花费O(n)时间（或更多）。