计算4个点的任何四面体的体积

Question

我需要根据四个角点的坐标来计算四面体的体积。

Answer 1

假设您有4个顶点a，b，c，d（3-D向量）。

现在，问题归结为编写代码来解决向量的交叉积和点积。如果你来自python，你可以使用NumPy，否则你可以自己编写代码。

维基百科链接绝对可以帮助您。 LINK

Answer 2

计算此卷的一种方法是：

     1      [ax bx cx dx]
V = --- det [ay by cy dy]
     6      [az bz cz dz]
            [ 1  1  1  1]

这涉及4×4行列式的评估。它很好地概括了更高维度的单纯形，其中6是 n！的特殊情况，是维度的阶乘。得到的体积将是取向，即取决于点的顺序可能是负的。如果您不想这样，请取结果的绝对值。

如果你手头有一个数学库，上面的表述可能是最容易写下来的，并且软件可以从那里获取。如果没有，您可以先从 a 到 c 中减去 d 坐标来简化操作。这不会改变音量，但会将最右边的列转换为(0, 0, 0, 1)。因此，您可以简单地将矩阵的值计算为左上3×3子矩阵的行列式。并使用等式

  

det（a，b，c）= a·（b×c）

您最终获得了来自Surya's answer的公式。

如果您没有点的坐标，而只是它们之间的距离，请查看Tartaglia's Formula，这是上述的平方版本，尽管它不像它看起来那样直截了当乍一看。

Answer 3

Ivan Seidel的例子，用Python（答案是1.3333 ......）

def determinant_3x3(m):
    return (m[0][0] * (m[1][1] * m[2][2] - m[1][2] * m[2][1]) -
            m[1][0] * (m[0][1] * m[2][2] - m[0][2] * m[2][1]) +
            m[2][0] * (m[0][1] * m[1][2] - m[0][2] * m[1][1]))


def subtract(a, b):
    return (a[0] - b[0],
            a[1] - b[1],
            a[2] - b[2])

def tetrahedron_calc_volume(a, b, c, d):
    return (abs(determinant_3x3((subtract(a, b),
                                 subtract(b, c),
                                 subtract(c, d),
                                 ))) / 6.0)

a = [0.0, 0.0, 0.0]
d = [2.0, 0.0, 0.0]
c = [0.0, 2.0, 0.0]
b = [0.0, 0.0, 2.0]

print(tetrahedron_calc_volume(a, b, c, d))

Answer 4

以下是用PHP计算任意四面体的体积给出4分的代码：

class Math{
public static function determinant(array $vals){
    $s = sizeof($vals);
    $sum = 0.0;
    for( $i=0; $i < $s ; $i++ ){
        $mult = 1.0;
        for($j=0; $j < $s ; $j++ ){
            $mult *= $vals[$j][ ($i+$j)%$s ];
        }
        $sum += $mult;
    }
    for( $i=0; $i < $s ; $i++ ){
        $mult = 1;
        for($j=0; $j < $s ; $j++ ){
            $mult *= $vals[$j][ ($i-$j < 0? $s - ($j-$i) :($i-$j)) ];
        }
        $sum -= $mult;
    }
    return $sum;
}

public static function subtract(array $a, array $b){
    for($i = 0; $i < sizeof($a); $i++)
        $a[$i] -= $b[$i];

    return $a;
}
}
// TEST CASE
$a = array(0,0,0);
$d = array(2,0,0);
$c = array(0,2,0);
$b = array(0,0,2);

echo abs(Math::determinant(array(
Math::subtract($a, $b),
Math::subtract($b, $c),
Math::subtract($c, $d),
)))/6;