凸多面体中

Question

给定凸多面体，我需要找到一个更快的算法，用于刻在其中的最大体积四面体。我只能想到O（n ^ 4）的强力解。我想我们是否可以通过使用一些预处理在小于O（n）时间内使用多面体的3个顶点形成的三角形找到凸多面体中最远的顶点。这个四面体的体积将是最大的三角形底座（四面体的体积）是1/3 *基面积*高度）并且对所有三角形执行此操作将给出最大体积四面体小于O（n ^ 4）。

Answer 1

我希望这个概率算法能够给出四面体的体积至少接近最大可能值的概率：

1. 从多面体
中选择任意三个（成对不同的）顶点A,B,C
2. 从多面体中选择一个点D，使四面体ABCD的体积最大化。
3. 从多面体中选择一个点A'，使四面体的体积最大化A'BCD
4. 从多面体中选择一个点B'，使四面体的体积最大化A'B'CD
5. 从多面体中选择一个点C'，使四面体的体积最大化A'B'C'D
6. 如果A==A'和B==B'以及C==C'停止回答ABCD。
7. 设置A=A'，B=B'，C=C'并继续为2。

显然，该算法终止于任何有限多面体和A，B，C的任何初始选择。如果多面体不是太对称的话，那么＃34;算法应该快速终止（＆lt; O(n^2)）。

现在多次运行此算法（在步骤1中使用不同的随机选择A，B，C）并保持到目前为止找到的最大四面体将增加接近或达到最大可能音量的概率。 / p>