凸壳中最大的三角形

Question

问题已经得到解答，但我面临的主要问题是理解其中一个答案。

从 https://stackoverflow.com/a/1621913/2673063

以下算法如何O(n)？

它表示为 通过首先对点进行排序/计算凸包（在O（n log n）时间内），如果需要，我们可以假设我们有凸多边形/船体，其点按照它们在多边形中出现的顺序循环排序。调用点1,2,3，...，n。令（变量）点A，B和C分别从1,2和3开始（以循环次序）。我们将移动A，B，C直到ABC是最大面积三角形。 （这个想法类似于旋转卡尺方法，用于计算直径（最远的一对）。）

A和B固定，前进C（例如，最初，A = 1，B = 2，C前进到C = 3，C = 4，......）只要三角形的面积增加，即，只要区域（A，B，C）≤区域（A，B，C + 1）。这个点C将是那些固定A和B最大化面积（ABC）的点。（换句话说，函数Area（ABC）是C的函数的单峰值。）

接下来，如果增加面积，则前进B（不改变A和C）。如果是这样，再次按上述方式推进C.然后如果可能的话再次前进B等。这将给出最大区域三角形，其中A作为顶点之一。 （到这里的部分应该很容易证明，并且简单地为每个A单独执行此操作将给出O（n2）。但请继续阅读。）现在再次推进A，如果它改善了区域等。 虽然这有三个“嵌套”循环，但请注意B和C总是向前推进，并且它们总共最多前进2n次（类似A最多前进n次），因此整个过程在O（n）时间内运行

Answer 1

作为问题主题的the answer的作者，我觉得有必要对O(n)运行时进行更详细的解释。

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首先，作为一个例子，这里是一篇文章的图，显示了算法的前几个步骤，对于特定的样本输入（12-gon）。首先，我们从A，B，C开始，作为三个连续的顶点（图中的步骤1），只要面积增加（步骤2到6）就前进C，然后前进B，依此类推。

上面带有星号的三角形是“锚定的局部最大值”，即最适合给定A的三角形（即，推进C或B会减小面积）。

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至于运行时为O(n)：让B的“实际”值按其增加的次数而忽略环绕，为nB，类似地，C为nC。 （换句话说，B = nB % n和C = nC % n。）现在，请注意，

1. （“B在A之前”）无论A的值如何，我们都有A≤nB< A + n

2. nB总是在增加

因此，当A从0变为n时，我们知道nB仅在0和2n之间变化：它最多可以增加2n次。同样nC。这表明算法的运行时间与A，B和C的总次数成正比，由O（n）+ O（2n）+ O（2n）限定，即O（n） ）。

Answer 2

这样想：A, B, C中的每一个都是在任何给定时刻指向凸包的一个元素的指针。由于算法递增它们的方式，它们中的每一个将最多指向凸包的每个元素一次。因此，每个元素都将迭代O(n)个元素的集合。它们将永远不会被重置，一旦其中一个元素通过元素，它将不会再次传递该元素。

由于有3个指针（A, B, C），因此我们有时间复杂度3 * O(n) = O(n)。

修改

由于代码在提供的链接中显示，听起来可能不是O(n)，因为B和C环绕数组。然而，根据描述，这种环绕听起来并不是必要的：在看到代码之前，我想象了停止B和C过去n的推进的方法。在这种情况下，它肯定是O(n)。然而，当代码出现时，我不确定。

由于某些数学原因，B和C仍然只能在整个算法中迭代O(n)次，但我无法证明这一点。我也不能证明不回滚是正确的（只要你处理索引越界错误）。