Question

我有一个封闭的凸多面体，它是由一个凸多边形（面）数组定义的，这些凸多边形是由3D空间中的顶点数组定义的。假设密度均匀，我试图找到多面体的质心。目前我用这个伪代码中的算法计算它。

public Vector3 getCentroid() {
    Vector3 centroid = (0, 0, 0);
    for (face in faces) {
        Vector3 point = face.centroid;
        point.multiply(face.area());
        centroid.add(point);
    }
    centroid.divide(faces.size());
    return centroid;
}

这基本上取面部质心的加权平均值。我不是100％确定这是正确的，因为我无法在线找到正确的算法。如果有人可以确认我的算法或引用我正确的算法，我将不胜感激。

感谢。

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所以这是我用来查找质心的实际Java代码。它将多面体分解为会聚在多面体内任意点上的金字塔。金字塔质心的加权平均值基于以下公式。

C _all = SUM _{所有金字塔}（C _金字塔 * volume _金字塔）/ volume _全部

以下是（重度注释代码）：

    // Compute the average of the facial centroids.
    // This gives an arbitrary point inside the polyhedron.
    Vector3 avgPoint = new Vector3(0, 0, 0);
    for (int i = 0; i < faces.size(); i++) {
        avgPoint.add(faces.get(i).centroid);
    }
    avgPoint.divide(faces.size());

    // Initialise the centroid and the volume.
    centroid = new Vector3(0, 0, 0);
    volume = 0;

    // Loop through each face.
    for (int i = 0; i < faces.size(); i++) {
        Face face = faces.get(i);

        // Find a vector from avgPoint to the centroid of the face.
        Vector3 avgToCentroid = face.centroid.clone();
        avgToCentroid.sub(avgPoint);

        // Gives the unsigned minimum distance between the face and a parallel plane on avgPoint.
        float distance = avgToCentroid.scalarProjection(face.getNormal());

        // Finds the volume of the pyramid using V = 1/3 * B * h
        // where:   B = area of the pyramid base.
        //          h = pyramid height.
        float pyramidVolume = face.getArea() * distance / 3;

        // Centroid of a pyramid is 1/4 of the height up from the base.
        // Using 3/4 here because vector is travelling 'down' the pyramid.
        avgToCentroid.multiply(0.75f);
        avgToCentroid.add(avgPoint);
        // avgToCentroid is now the centroid of the pyramid.

        // Weight it by the volume of the pyramid.
        avgToCentroid.multiply(pyramidVolume);

        volume += pyramidVolume;
    }

    // Average the weighted sum of pyramid centroids.
    centroid.divide(volume);

如果您有任何问题，请随时向我询问或指出您看到的任何错误。

Answer 1

通常，这取决于多面体的结构。有4种可能的情况：

只有顶点具有权重，即您的多面体是点系统。然后你可以计算所有点的加权和的平均值：
```
r_c = sum(r_i * m_i) / sum(m_i)
```
此处r_i是表示第i个顶点的矢量m_i - 其质量。等质量的情况给我们留下了更简单的公式：
```
r_c = sum(r_i) / n
```
其中n是顶点数。请注意，两个总和都是矢量化的。
只有边缘有重量，多面体基本上是一个胴体。通过用位于边缘中间的顶点替换每个边并且具有整个边的权重，可以将这种情况简化为前一个边。
只有脸有重量。这种情况也可以减少到第一种情况。每个面都是2D凸面图，其中可以找到质心。用它的质心代替每个面将这个案例带到第一个面。
实心多面体（您的情况，从推断“假定均匀密度”）。这个问题需要更复杂的方法。第一步是将多面体分割成四面体。以下是关于如何执行此操作的short description。对于四面体质心位于其所有中位数相交的点。（四面体的中位数是连接其顶点和相对面的质心的线。）下一步是用分区中心替换分区中的每个四面体。最后一步是找到所得加权点集的质心，这正是第一种情况。

Answer 2

对于实例，有多simpler method而不是试图对多面体进行四面体化（具有pitfalls）。

这是伪ish java-ish代码（假设正确的Vector3实现）：

// running sum for total volume
double vol = 0;
// running sum for centroid
Vector3 centroid = (0, 0, 0);
for each triangle (a,b,c)
{
  // Compute area-magnitude normal
  Vector3 n = (b-a).cross(c-a);
  vol += a.dot(n)/6.;
  // Compute contribution to centroid integral for each dimension
  for(int d = 0;d<3;d++)
    centroid[d] += n[d] * ((a[d]+b[d])^2 + (b[d]+c[d])^2 + (c[d]+a[d])^2);
}
// final scale by inverse volume
centroid *= 1./(24.*2.*vol);

请注意，如果您拥有比三角形更高的度数面，您可以使用扇子进行三角测量，这仍然有效。

即使多面体不凸起，这也很方便。

我还发布了matlab code

凸多面体的质心

2 个答案: