网格算法拼图

Question

我有一些宽度和高度的网格，其中每个单元格可以有三个可能的值（在此图中显示为白色，绿色和红色）：

illustration http://corexii.com/grid-algorithm-problem-2.png

您可以选择任意数量的绿色单元格（下图中标记为蓝色），其中包含预定方形半径内的所有红色单元格（标记为黄色）（此处 2 < / strong>）围绕选定的单元格：

illustration http://corexii.com/grid-algorithm-problem-3.png

目标是：

• 尽可能多地覆盖红细胞
• 使用尽可能少的蓝色细胞
• 尽可能快地完成

任何人对算法都有任何想法吗？

我正在研究很多理论，但我最感兴趣的是近似快速 而不是准确。一个快速，合理的结果比整天计算最佳结果更可取。

（上面的插图可能会显示这些细胞的最正常分布，但不应假设它们与所有可能的分布类似。）

Answer 1

这个问题是重要的NP-hard set cover problem的一个特例。 （宇宙由红色单元组成，每个集合由一个绿色单元的半径内的红色单元组成。）greedy algorithm位于最佳 n 因子内结果

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templatetypedef is right to point out这个问题是NP难问题的一个特例并不能证明它实际上也是NP难的。这就是为什么我在上面的措词中小心谨慎而不是暗示后者。但作为一个NP难问题的一个特例是一个不容忽视的信号：许多特殊情况在进一步调查中变得非常难以实现。

因此，这是一个粗略的草图，这个问题实际上是NP难的，通过减少最多四度的平面图的VERTEX封面。

假设我们有一个最多四度的平面图，例如：

用绿色正方形表示每个顶点，每个边缘用红色和绿色正方形的交替链，这样就有偶数个绿色正方形，奇数个红色正方形，每个绿色正方形只覆盖两个如果选择的话，两边都是红色方块。半径为2时，这是图表的一种可能表示：

为了覆盖所有红色方块，我们需要在每条链上选择至少一半绿色方块，对应于原始图形的边缘。如果我们在每条链上选择正好一半的绿色方块，那么在每条边的一端留下一个未被覆盖的红色方块（我们可以选择哪一端）。因此，如果我们能够找到最小的顶点集，使得每个边都入​​射到该集合中的顶点，我们就得到最小的绿色方块集。

在示例中，如果我们选择顶点 a 和 d ，我们可以使用八个绿色方块覆盖红色方块：

这对应于原始图中的最小顶点覆盖：