我正在解决附近大学提供的算法书中的问题。以下问题是关于图形算法（Kruskal算法，BFS，DFS，Prim算法）。我已经在这里工作了几天而且我被卡住了。
问题如下：
考虑一下关于二维赛车的电脑游戏。您的汽车是一个像素，并且课程在n×n屏幕上被编码为一组有效像素：您将获得一个2D数组，您可以在其中查找任何像素以查看它是否有效。您的目标是尽可能快地从给定的起始位置到达给定的终点位置。
以下是规则：
- 时间以单位步长计算
- 如上所述，您从一个零速度的起始位置开始
在每个时间步，您都可以修改水平速度 1，或保持不变。对于垂直速度，它也是独立的。因此，如果在特定时间你处于像素（x，y）且已经有速度（vx，vy），那么在下一个时间步骤你将处于位置（x + vx，y + vy），之后如果您愿意，您的速度的每个分量可能会改变±1。
不允许以任意速度射击终点位置。你必须在那里拿起你的奖杯。
在每次踏步时，您的汽车必须处于有效像素，但在步骤之间，您不得驾驶无效像素。为了帮助完成这最后一部分，您将获得一个像素对的表 T ，其中每一对都让您知道从一个像素到另一个像素是否合法。一条直线。因此，在恒定的时间内你可以查看任何一对，看看是否可以直接从一个移动到另一个是好的。
将此游戏制定为图形问题，并描述如何为任何特定赛道找到最佳路线。算法的时间复杂度是多少？
到目前为止我所得到的是将图中的节点表示为速度（ n 2 ），并将节点之间的边缘表示为速度的变化。此外，由于存在无效位置，我认为必须有一些方法来加权边缘，以便在它们上运行Kruskal算法。
答案 0 :(得分：0)
我建议将图形定义为未加权图形，并使用以下顶点和边缘定义：
其顶点是表示合法直线行程的有效像素对，如表T中所定义。顶点数因此对应于表T的大小，即 O（n
然而，我们可以通过注意在任一方向上存在最大速度来减少顶点的数量，这可以在以0的速度开始时获得并且不会导致网格边界上的车祸。在一个维度中，最大速度只能在一个接一个的步骤中从0变为1，变为2，变为3。由于汽车在一个方向上不能超过 n 像素，并且应该能够及时停止，我们可以发现一个方向上的速度永远不会大于 sqrt（n） ）
例如，这种加速然后断开可以给出这些速度的总和：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25.如果 n = 25然后汽车将穿过整个网格（在一个维度上），最大速度为5.任何更大的速度都会导致崩溃。
因此，有趣的像素对之间的水平和垂直距离都小于或等于 sqrt（n）。这意味着对于给定像素，最多有 sqrt（n）* sqrt（n），即 n 其他像素以将其组合。由于存在 n 2 像素，我们需要考虑 O（n 3 ）对（顶点）。 / p>
其边缘连接可以连续行进的顶点（即像素对）。结果
该图中有两个特殊顶点：
对应于（开始，开始）像素对的那个，因为它代表初始状态（起始像素处的0速度）
对应于（目标，目标）像素对的那个，因为它表示目标状态（目标像素处的速度为0）
然后可以将问题表述为找到这两个顶点之间的最短路径。
unweighted graph is O(E+V)中单一来源最短路径问题的时间复杂度，在此特定问题中 O（9V + V）， O（V）< / em>，是 O（n 3 ）。此算法是一个BFS，您可以在其中跟踪长度为1的路径，然后将所有这些路径扩展到长度为2（修剪到达已经访问过的顶点的地方），等等，直到您到达目标顶点。您点击它的路径是最短的路径。