我有一张无向图。现在，假设图表已完成。每个节点都有一个与之关联的特定值。所有边缘都具有正重量。 我想在任何2个给定节点之间找到路径，使得与路径节点相关联的值的总和最大，同时路径长度在给定阈值内。 解决方案应该是“全局的”，这意味着所获得的路径应该在所有可能的路径中是最佳的。我尝试了一种线性编程方法，但我无法正确地制定它。 任何建议或不同的解决方法都会有很大的帮助。
谢谢！
答案 0 :(得分：1)
这可能不完美，但如果阈值（T）足够小，则有一个简单的算法在O（n ^ 3 T ^ 2）中运行。这是Floyd-Warshall的一个小修改。
d = int array with size n x n x (T + 1)
initialize all d[i][j][k] to -infty
for i in nodes:
d[i][i][0] = value[i]
for e:(u, v) in edges:
d[u][v][w(e)] = value[u] + value[v]
for t in 1 .. T
for k in nodes:
for t' in 1..t-1:
for i in nodes:
for j in nodes:
d[i][j][t] = max(d[i][j][t],
d[i][k][t'] + d[k][j][t-t'] - value[k])
The result is the pair (i, j) with the maximum d[i][j][t] for all t in 0..T
编辑：这假设允许路径不简单，它们可以包含循环。
EDIT2：这也假设如果一个节点在路径中出现多次，它将被计算多次。这显然不是OP想要的！
答案 1 :(得分：1)
如果你在一般图表中寻找算法，你的问题是NP-Complete，假设路径长度阈值是n-1，每个顶点都有值1，如果你找到问题的解决方案，你可以说给定的图形有哈密尔顿路径与否。实际上，如果最大化的顶点大小路径具有值n，那么您将拥有哈密尔顿路径。我认为你可以使用类似Held-Karp放松的东西来找到好的解决方案。
答案 2 :(得分：0)
整数计划（这可能是个好主意，也可能不是）：
对于每个顶点v，如果访问顶点v，则x v 为1，否则为0。对于每个弧a，让y a 是使用弧a的次数。我们是源头，是目的地。目标是
最大化Σ v 值（v）x v 。
约束是
Σ a 值（a）y a ≤阈值
∀v，Σ a有头v y a - Σ a有尾v y a = {-1如果v = s; 1如果v = t;否则为0（节省流量）
∀v≠x，x v ≤Σ a有头v y a （必须输入一个顶点才能访问）
∀v，x v ≤1（最多访问每个顶点一次）
∀v∉{s，t}，∀切割S将顶点v与{s，t}分开，x v ≤Σ a使得尾（a）∉S∧头（a ）∈S y a （仅受益于孤立循环上的顶点）。
要解决，请使用松弛值进行分支和绑定。不幸的是，最后一组约束在数量上是指数级的，所以当你解决松弛对偶时，你需要生成列。通常，对于连接问题，这意味着重复使用最小割算法来找到值得执行的剪切。祝你好运！
答案 3 :(得分：0)
如果只是将节点的权重添加到其传出边的权重，则可以忘记节点权重。然后，您可以使用shortest path problem的任何标准算法。