如何证明这种语言是否正常？

Question

如何证明这种语言是否正常？

  

L = {a ⁿ b ⁿ ：n≥1} union {a ⁿ b ^{n + 2} ：n≥1}

Answer 1

我会给出一个方法和一个证明的草图，它可能有一些洞，我相信你可以填补自己。

想法是使用nerode's theorem - 表明R _L 存在无穷多的等价组 - 并且根据该定理，您可以推导出语言不正常。

定义两种类型的集合：

1. G_j = {a ⁿ b ^k |对于每个j in，n-k = j，k≥1} [-2，-1,0,1，...]
每个j in的
2. H_j = {a ^j } [0,1，...]
3. G_illegal = {0,1} ^* /（G_j U H_j）[对于指定范围内的每个j]

对于x中的每个G_illegal以及{a，b} ^* 中的每个z，很容易看到xz }不在L。

因此，对于x,y中的每个G_illegal以及z中xz中的L yz L z }＆lt; - ＆gt; x中的y。

此外，对于{a，b} ^* 中的每个G_j - 以及j中的每个z，a [相同]两个xz：

• 如果yz包含L，则z和k+j = n都不在xz
• 如果L = b ^j ，那么xz = a ⁿ b ^k b ^j ，以及y - yz位于L。同样适用于z，因此k+j+2 = n+2位于xz。
• 如果L = b ^{j + 2} ，那么xz = a ⁿ b ^k b ^{j + 2} ，因为y - yz位于L。同样适用于x，因此xz位于yz。
• 否则，L是b ⁱ ，使得i≠j且i≠j + 2，并且您得到x,y和G_j都不是在z。

因此，对于xz中的每个j和每个L以及{a，b} ^* 中的每个yz：L在H_j＆lt; - ＆gt;中x中的y。

使用相同的方法为每个z证明相同。

此外，很容易证明每个x G_j U H_j以及G_illegal中的每个y - xz = b ^j ， xz在L中，而yz不在L.
对于G_j中的L和H_i中的yz，对于z = ab ^{j + 1} - 很容易看出L不是x和y中的x位于y。
很容易看出，对于z，xz分别位于G_j和G_i或L，yz位于H_j，H_i - H_j = b ^j ：G_j位于j，而L则不是。{/ p>

我们刚刚证明我们创建的集合实际上是来自nerode's theorem的R _L 的等价关系，并且因为我们有无限数量的这些集合，每个集合都是R的等价关系 _L [我们{{1}}和{{1}}每{{1}}} - 我们可以从nerode的定理推导出{{1}是不规则的。

Answer 2

您可以将pumping lemma用于常规语言。它基本上说如果你能找到任何给定整数n的字符串和这个字符串的任何分区到xyz，那么| xy | ＆lt; = n，和| y | ＆GT; 0，那么你可以抽出字符串的y部分，它必须保持语言，这意味着，如果xy ^ iz它不是某种语言的语言，那么语言就不常规了。

证据就是这样，一种对手的证明。假设有人告诉你这种语言是正常的。然后问他一个数字n＆gt;你建立一个长度大于n的方便的字符串，然后你给对手。他以任何他想要的方式对x，y z中的字符串进行分区，只要| xy |即可＆lt; = n。然后你必须抽y（重复i次），直到找到一个不是同一种语言的字符串。

在这种情况下，我告诉你：给我一个。你修好了。我告诉你：取字符串“a ^ n b ^ {n + 2}”，并告诉你拆分它。无论如何，您可以拆分此字符串，您将始终必须使y = a ^ k，其中k> 0，因为你强迫制作| xy | ＆lt; = n，我的字符串以^ n开头。这是诀窍，你给对手一个字符串，这样他就可以分开它，他给你一个你可以抽的部分。所以现在我们抽y，比方说，0次，你得到“a ^ m b ^ {n + 2}”，m＆lt; n，不是您的语言。完成。我们也可以抽1次，n次，n！阶乘时间，你需要做的任何事情都要离开语言。

这个定理的证据就是说，如果你有一个常规语言，那么你有一个自动机，n个状态用于某些固定的n。如果一个字符串有超过n个字符，那么它必须在你的自动机中经历一些循环。如果我们在进入循环之前将x命名为字符串的一部分，并且在循环中将该部分命名为y，那么很明显我们可以根据需要多次抽取y，因为我们可以在循环中继续运行我们想要的次数，结果字符串必须是语言，因为它将被该自动机识别。要使用该定理来证明非规则性，因为我们不知道所谓的自动机将如何，我们必须留给对手选择n和自动机内循环的位置（不会有自动机，但你对对手说的话：敢给我一个自动机，我会告诉你它不可能存在。）