Question

我想知道是否存在任何继续证明算法正确性的规则/方案？例如，我们在自然数上定义了一个函数$ F $，定义如下：

function F(n,k)
begin
  if k=0 then return 1
  else if (n mod 2 = 0) and (k mod 2 = 1) then return 0
  else return F(n div 2, k div 2);
end;

其中$ n \ \ text {div} \ 2 = \ left \ lfloor \ frac {n} {2} \ right \ rfloor $

任务是证明$ F（n，k）= \ begin {cases} 1 \ Leftrightarrow {n \ choose k} \ \ text {mod} \ 2 = 1 \ 0 \ text {otherwise} \ end {cases} $

它看起来并不复杂（我错了吗？），但我不知道这种证据应该如何构建。我非常感谢你的帮助。

Answer 1

mathematical induction经常证明递归算法的正确性。这个方法由两部分组成：首先，你建立基础，然后你使用归纳步骤。

在你的情况下，基数是k = 0时的所有情况，或者当k是奇数但n是偶数时。

归纳步骤要求证明当f(n,k)正确时，f(2*n,2*k)，f(2*n+1,2*k)，f(2*n,2*k+1)和f(2*n+1,2*k+1)都是正确的。

Answer 2

除了以数学方式证明你的逻辑（例如：inductive proof）之外，计算科学还有一些与此相关的结果。

您可以从这里开始概述主题：Correctness
对于您的特定情况，您会对部分正确性感兴趣，以表明答案是预期的答案。然后总的正确性表明程序终止。

Hoare logic可以解决您的部分正确性。

关于这个特殊问题的终止：

如果（n％2 == 0且k％1 == 1）或（k == 0）程序终止，否则它将递归到n / 2，k / 2情况。
在k上使用strong induction，我们可以证明程序总是到达其中一个终端节点，其中k == 0。（它可能在第一个条款的早期终止，但我们只需要显示它终止，这样做）

所以我给你留下了部分正确性的证明（因为我不知道那些东西）

Answer 3

一般来说，您会尝试通过归纳证明正确性。这在证明递归函数的正确性时非常有效，因为您可以直接证明基本情况，然后可以使用该函数适用于“较小”输入的事实，以证明它适用于下一个最大输入。

在这种情况下，我会尝试通过有根据的归纳证明。具体来说，我会证明

此证明的细节需要利用函数的细节和二项式系数的bahvaior，但一般模板如上所述。

希望这有帮助！