在二分图中量化成对，三等等重叠

Question

我正在使用一个邻接矩阵来总结一个二元图，这样行就是图中的一个组，列是第二组。如果行和列之间有边，则值为1，如果不是，则为0.所以，我的矩阵看下面

  X Y Z
A 0 1 0
B 0 0 1
C 1 1 1

等

我想量化1 ... S个选定行的行重叠分布。因此，例如，在上面的矩阵中，平均成对重叠将是（0 + 1/3 + 1/3）/ 3 = 2/9，三向重叠（必须有一个更好的词）是0。

我正在寻找一种有效的算法来为N行和M列执行此操作。到目前为止，我所提出的任何内容通常都无法完成所有可能的行组合。

我可以做一些事情，比如查看每列的重叠概率 - 所以，类似于每列长度为S的可能组合的数量，其中包括至少1项除以行组合的总数。但我还没有找到一种方法来使用这些信息来得出正确的答案。

我一直在想必须有某种扫描算法或其他方法来解决S的任意值的这个问题，但缺乏算法训练来从头脑中知道它。有什么想法或参考？

谢谢！

Answer 1

我认为你可以通过建立一个直方图来相当有效地计算这一点，该直方图可以跟踪每列中有多少1个。举个例子：

  X Y Z
A 0 1 0
B 0 0 1
C 1 1 1

如果对列进行求和，则分别得到1,2和2。要找到平均成对相似性，您可以考虑找到每列的平均相似度，然后取平均值。在这种情况下，为了找到成对相似性，您可以为每列询问有多少对元素。对于列X，这是0.对于列Y，这是1，对于列Z，这也是1。如果我们计算（0/3 + 1/3 + 1/3）/ 3，则根据需要得到2/9。要找到三向相似性，您可以询问每列中有多少三元组。每个都有0，所以平均值为0.

这有效的原因是你想要的总和是

  

（Sum（所有可能的k元组）（＃列与行/ num列匹配））/ num k-tuples

你可以将其考虑在内以获得

  

（Sum（所有可能的行k元组）（＃列跨行匹配））/（num k-tuples * num columns）

然后可以互换第一笔总和以获得

  

（Sum（所有列）（与此列匹配的行的#k-tuples））/（num k-tuples * num columns）

计算这笔金额要容易得多，因为你可以这样做：

1. 计算列总和。
2. 对于每一列，找出从中挑选k个元素的方式（这等于n选择k），然后除以列数。
3. 将此总数除以有k个元素的行数（这是选择k的行数）。

你可以使用choose函数的定义（在时间O（n + k））计算n相当有效地选择k。如果您有R行和C列，则总工时为：

1. 对每行的列求和：O（RC）
2. 对于列，计算k元素组合的数量：O（R + k），因为总和最多为R。
3. 在所有列中，计算此总数：O（CR + Ck）
4. 将它们平均在一起：O（C）

这给出了总运行时间O（CR + Ck）。如果你用行数绑定k，那么我认为它在时间O（CR）中运行。

希望这有帮助！

Answer 2

设n为行数，m为列数。组合总数= m *行组合= m*n*(n-1)/2

设si是第i列的总和。匹配总数= si*(si-1)/2。

所以解决方案是：( s1*(s1-1)/2 + s2*(s2-1)/2 +...+sm*(sm-1)/2 ) / (m*n*(n-1)/2)

例如，在您的情况下，分母= 3 * 3 * 2/2 = 9

s1 = 0, s2=2, s3=2

分子是：（0 + 1 + 1）= 2

答案= 2/9

对于一般的p-way交叉点，请更改公式。

( choose(s1,p), choose(s2,p)+...+choose(sm,p) ) / (m*choose(n,p))

其中choose(k,p) = k!/((k-p)!p!)