在二分图中划分完美匹配

Question

在“婚姻问题”中，我们有N个男孩和N个女孩以及一个NxN二进制矩阵告诉我们哪些配对是合适的，并且想要将每个女孩配对一个男孩。 （即我们希望在二分图中找到完美匹配）。

霍尔定理说，如果每个男孩节点集合至少与女孩节点一样多，那么你就可以找到一个完美的匹配;并且有快速增强路径算法可以找到完美的匹配。

我正在寻找一种有效的方法来找到与完全相同的男孩节点的集合，就像许多女孩节点一样（即我们在Hall的标准中具有相同性）。这些男孩必须与这些女孩配对，其余的男生必须与其他女孩配对，这样所有完美匹配都会尊重这种分配。

我的图论有点生疏，当然必须有一个更好的方法，而不是枚举所有2 ^ N个子集并计算每个子集的邻居？

Answer 1

这在多项式时间内是可能的。将二分匹配问题建模为有向图中的最大流问题。然后使用算法来枚举最小切割。在Google上搜索“枚举最低限度”或Vazirani＆amp; Yannakakis或Yeh＆amp;王。

Answer 2

如果我理解你想要什么，那么，在多项式时间内没有聪明的方法可以做到这一点。在一般图表上查找此类分区是NP完全问题。