Question

完整的问题是

假设我们有一个功能

void foo(int n){
  int i = n;
  while(i > 0){
    //do an O(n) operation
    //do some O(1) operations
    i = sqrt(i) - 1;
  }
}

我只需要找到渐近边界，但我不能这样做，直到我弄清楚循环实际运行了多少次。我猜测的是另一个涉及平方根的求和，但我不确定如何开始。

Answer 1

您想要找到循环执行的次数。

如果我＆lt; 2，然后循环最多执行两次。

因此如果我＆lt; 4循环最多执行3次。

因此如果我＆lt; 16循环最多执行4次。

因此如果我＆lt; 256循环最多执行5次。

...

等

你看，如果我＆lt; 2 ^（2 ^ m），然后循环最多执行（m + 2）次。

这意味着它将执行的次数的顺序是log（log（n）），

因为我从n开始。

因此整体复杂性为O(n*log(log(n))。

（即每次迭代中O（1）次操作的数量是否恒定。）

Answer 2

与Petar相同的O（n log log n），但这里有一些更清晰的界限。如果i = floor（sqrt（i））-1，

如果n＆lt; 1，它循环零时间
如果n＆lt; 2²，最多循环1次如果n＆lt; （2²+ 1）²=5²，最多循环2次如果n＆lt; （5²+ 1）²=26²，最多循环3次如果n＆lt; （26²+ 1）²=677²，最多循环4次

根据On-Line Encyclopedia of Integer Sequences，这个序列（1,2,5,26,677，...）渐近到1.22 ^（2 ^ k）[并且第k个数字代表数字高度最多的二叉树k]。所以对于数字n，循环数是O（log log n），你的算法是O（n log log n）。

n可以是多少次（sqrt（n）） - 1，而n> 0？

2 个答案: