Question

在CLRS，第三版，第155页，给出了MAX-HEAPIFY，

孩子的子树每个都有最大 2n / 3 - 最坏的情况当树的底层正好是半满时发生。

我理解为什么当树的底层正好是半满时它是最糟糕的。此问题也回答worst case in MAX-HEAPIFY: "the worst case occurs when the bottom level of the tree is exactly half full"

我的问题是如何获得2n / 3？

为什么如果底层是半满的，那么子树的大小最多为2n / 3？

如何计算？

由于

Answer 1

在每个节点中只有0个或2个子节点的树中，具有0个子节点的节点数比具有2个子节点的节点数多1个。{解释：高度为h的节点数为2 ^ h，通过几何级数的求和公式等于（从高度0到h-1的节点之和）+ 1;从高度0到h-1的所有节点都是正好有2个孩子的节点}

    ROOT
  L      R
 / \    / \
/   \  /   \
-----  -----
*****

令k为R中的节点数.L中的节点数为k +（k + 1）= 2k + 1.节点总数为n = 1 +（2k + 1）+ k = 3k + 2（根加L加R）。比率为（2k + 1）/（3k + 2），高于2/3。没有小于2/3的常数可以工作，因为k变为无穷大的极限是2/3。

Answer 2

Understand the maximum number of elements in a subtree happens for the left subtree of a tree that has the last level half full.Draw this on a piece of paper to realize this.

一旦明确，2N / 3的界限很容易获得。

让我们假设树中的节点总数是N.

树中的节点数= 1 +（左子树中的节点数）+（右子树中的节点数）

对于树的最后一层半满的情况，iF我们假设右子树是高度h，那么左子树是高度（h + 1）：

Left Subtree中的节点数= 1 + 2 + 4 + 8 .... 2 ^（h + 1）= 2 ^（h + 2）-1 .....（i）

右子树中的节点数= 1 + 2 + 4 + 8 .... 2 ^（h）= 2 ^（h + 1）-1 .....（ii）

因此，插入：

树中的节点数= 1 +（左子树中的节点数）+（右子树中的节点数）

=> N = 1 + (2^(h+2)-1) + (2^(h+1)-1)

=> N = 1 + 3*(2^(h+1)) - 2

=> N = 3*(2^(h+1)) -1

=> 2^(h+1) = (N + 1)/3

将此值插入等式（i），我们得到：

Number of nodes in Left Subtree = 2^(h+2)-1 = 2*(N+1)/3 -1 =(2N-1)/3 < (2N/3)

因此，具有N个节点的树的子树中最大节点数的上限为2N / 3.

Answer 3

对于高度为h的完整二叉树树，节点数为f(h) = 2^h - 1。在上面的例子中，我们有几乎完整的二叉树，下半部分已满。我们可以将其视为root + left complete tree + right complete tree的集合。如果原始树的高度为h，则左侧的高度为h - 1，右侧为h - 2。等式成为

n = 1 + f(h-1) + f(h-2)（1）

我们希望上面针对f(h-1)

表达的n进行求解

f(h-2) = 2^(h-2) - 1 = (2^(h-1)-1+1)/2 - 1 = (f(h-1) - 1)/2（2）

在（1）中使用上面的

n = 1 + f(h-1) + (f(h-1) - 1)/2 = 1/2 + 3*f(h-1)/2

=> f(h-1) = 2*(n-1/2)/3

因此O（2n / 3）

Answer 4

-

处的节点数

等级0，即根是2 ^ 0
1级是2 ^ 1
2级是2 ^ 2
...
等级n是2 ^ n

从0级到n级的所有节点的总和，

S = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + ... + 2 ^ n

从几何级数求和规则我们知道

x ^ 0 + x ^ 1 + x ^ 2 + ... + x ^（n）=（x ^（n + 1） - 1）/（x-1）

代替x = 2，我们得到

S = 2 ^（n + 1） - 1.即2 ^（n + 1）= S + 1

由于2 ^（n + 1）是级别为n + 1的总节点，我们可以说0个子节点的节点数比有2个子节点的节点数多一个。

现在让我们计算左子树，右树和总数中的节点数。

假设root的左子树中的非叶节点数= k。
通过上述推理，左子树中的叶节点数或 root = k + 1。 root = k的右子树中的非叶节点数，因为树被称为半满。
root子树中的节点总数= k + k + 1 = 2k +
树中的节点总数，n =（2k + 1）+ k + 1 = 3k + 2.
左子树中的节点比率和总节点数=（2k + 1）/（3k + 2）以2/3为界。

这就是说孩子们的每个子树的大小最多为2n / 3的原因。

Answer 5

添加到swen的答案。当k趋于无穷大时，（2k + 1）/（3k + 2）如何趋于2/3，

Lim_（k - > inf）（2k + 1）/（3k + 2）= Lim_（k - > inf）k（2 + 1 / k）/ k（3 + 2 / k）= Lim_ （k - > inf）（2 + 1 / k）/（3 + 2 / k）

应用限制，你得到2/3

Max-Heapify中的最坏情况 - 你如何得到2n / 3？

5 个答案: