在CLRS，第三版，第155页，给出了MAX-HEAPIFY，
"the worst case occurs when the bottom level of the tree is exactly half full"
我想原因是在这种情况下，Max-Heapify必须通过左子树“向下浮动”。
但我无法得到的是“为什么半满”？
如果左子树只有一个叶子，Max-Heapify也可以向下浮动。那么为什么不把这视为最坏的情况？
答案 0 :(得分：11)
阅读整个背景：
子项的子树每个都有2n / 3的大小 - 最坏的情况发生在树的最后一行正好是半满
由于运行时T(n)是通过树中的元素数量（n）来分析的，并且递归步进到其中一个子树中，我们需要找到数字的上限子树中相对于n的节点数，这将产生T(n) = T(max num. nodes in subtree) + O(1)
子树中节点数最差的情况是最后一行在一侧尽可能充满，而在另一侧尽可能为空。这被称为半满。左侧子树大小将受2n/3限制。
如果您提议只有少数节点的情况，那么这是无关紧要的，因为所有基本情况都可以被视为O(1)并被忽略。
答案 1 :(得分：0)
我知道已经有一个可以接受的答案，但是对于那些有同样问题并且仍然有点困惑（就像我一样）或者不清楚的人 - 这里有更长更详细的解释。< /p>
虽然这听起来可能很无聊或多余，但我们必须非常清楚确切的定义，因为通过关注细节 - 很有可能当你这样做时，证明事情变得容易得多。
从 CLRS 6.1 节开始，（二进制）堆数据结构是一个数组对象，我们可以将其视为近乎完整的二叉树
来自维基百科，在一棵完全二叉树中，每一层（可能除了最后一层）都被完全填充，并且最后层中的所有节点都 >尽量离开。
另外，来自维基百科，平衡二叉树是一种二叉树结构，其中每个节点的左右子树的高度相差不超过1。
因此，与根相比，左右子树的高度最多可以相差 1。
现在，考虑一棵树T，让左子树的高度=h+1，右子树的高度=h
MAX_HEAPIFY 中最坏的情况是什么？最坏的情况是，我们最终在尝试维护堆属性的同时进行了更多的比较和交换。
如果 MAX_HEAPIFY 算法运行并且递归通过最长路径，那么我们可以考虑可能的最坏情况。
好吧，所有最长的路径都在左子树中（因为它的高度是 h+1）。为什么不是正确的子树？记住定义，最后层的所有节点必须尽可能左边。
所以，为了获得更多的最长路径，我们应该让 left 子树全满（为什么？这样我们就可以有更多的路径可供选择并选择提供最坏情况时间）。由于左子树的高度为 h+1，因此它将有 2^(h+1) 个叶节点，因此从根开始有 2^(h+1) 条最长的路径。这是树 T 中最长路径的最大可能数量（h+1 高度）。
这是最坏情况下树结构的 image。
从上图中，考虑黄色（左）和粉红色（右）子树各有 x 个节点。粉色部分为完全右子树，黄色部分为不包括最后一层的左子树。
注意黄色（左）和粉红色（右）子树的高度为 h。
现在，从一开始，我们就认为左子树作为一个整体的高度为 h+1（包括黄色部分和最后一层），如果我可以问，我们有多少个节点在最后一层即黄色部分下方添加，使左子树完全填满？
嗯，黄色部分的最底层有 ⌈x/2⌉ 个节点（具有 n 个节点的树/子树中的叶子总数 = ⌈n/2⌉；对于证明访问 this链接），现在如果我们向这些节点/叶子中的每一个添加 2 个子节点，=> 总共添加了 x (≈x) 个节点（如何？⌈x/2⌉ 叶子 * 2 ≈ x 个节点）。
通过这个添加，我们制作了高度为 h+1（高度为 h 的黄色部分 + 添加的最后一层）和 FULL 的左子树，因此满足最坏情况的标准。
由于左子树是满的，整个树是半满的。
现在，最重要的问题——为什么我们不添加更多节点或在正确的子树中添加节点？好吧，那是因为现在如果我们倾向于添加更多节点，则必须将节点添加到右子树中（因为左子树已满），这反过来会更平衡树.现在，随着树开始变得更加平衡，我们倾向于朝着最好的情况而不是最坏的情况发展。
另外，我们总共有多少个节点？
树的总节点数 n = x（来自黄色部分）+ x（来自粉色部分）+ x（黄色部分下方最后一层的添加）= 3x
注意，作为副产品，左子树总共包含最多 2x 个节点，即 2n/3 个节点 (x = n/3)。
