Question

给定一个任意的命题公式PHI（某些变量的线性约束），确定每个变量的（近似）上限和下限的最佳方法是什么？

某些变量可能无限制。在这种情况下，算法应该断定这些变量没有上限/下限。

例如，PHI =（x = 3且y> = 1）。 x的上限和下限均为3.y的下限为1，y没有上限。

这是一个非常简单的例子，但是一般有解决方案（可能使用SMT求解器）吗？

Answer 1

这假设每个变量的SAT / UNSAT域是连续的。

使用SMT解算器检查公式的解决方案。如果没有解决方案那么这意味着没有上限/下限，所以停止。
对于公式中的每个变量，在变量的域上进行两次二进制搜索，一次搜索下限，另一次搜索上限。搜索每个变量的起始值是步骤1中找到的解决方案中变量的值。使用SMT求解器探测每个搜索值的可满足性，并有条理地括起每个变量的边界。

搜索函数的伪代码，假设整数域变量：

lower_bound(variable, start, formula)
{
    lo = -inf;
    hi = start;
    last_sat = start;
    incr = 1;
    do {
        variable = (lo + hi) / 2;
        if (SMT(formula) == UNSAT) {
            lo = variable + incr;
        } else {
            last_sat = variable;
            hi = variable - incr;
        }
    } while (lo <= hi);
    return last_sat;
}

和

upper_bound(variable, start, formula)
{
    lo = start;
    hi = +inf;
    last_sat = start;
    do {
        variable = (lo + hi) / 2;
        if (SMT(formula) == SAT) {
            last_sat = variable;
            lo = variable + incr;
        } else {
            hi = variable - incr;
        }
    } while (lo <= hi);
    return last_sat;
}

-inf / + inf是每个变量域中可表示的最小/最大值。如果lower_bound返回-inf，则变量没有下限。如果upper_bound返回+ inf，则变量没有上限。

Answer 2

在实践中，大多数此类优化问题需要在SMT求解器之上进行某种迭代 - 直到最大/最小类型的外部驱动程序。量化方法也可以利用SMT求解器的特定功能，但实际上这些约束对于底层求解器来说太难了。特别参见此讨论：How to optimize a piece of code in Z3? (PI_NON_NESTED_ARITH_WEIGHT related)

话虽如此，大多数高级语言绑定包括简化生活的必要机制。例如，如果您使用Haskell SBV库来编写脚本z3，则可以：

Prelude> import Data.SBV
Prelude Data.SBV> maximize Quantified head 2 (\[x, y] -> x.==3 &&& y.>=1) 
Just [3,1]
Prelude Data.SBV> maximize Quantified (head . tail) 2 (\[x, y] -> x.==3 &&& y.>=1) 
Nothing
Prelude Data.SBV> minimize Quantified head 2 (\[x, y] -> x.==3 &&& y.>=1) 
Just [3,1]
Prelude Data.SBV> minimize Quantified (head . tail) 2 (\[x, y] -> x.==3 &&& y.>=1) 
Just [3,1]

第一个结果表明x = 3，y = 1相对于谓词x == 3＆amp;＆amp; Y'GT; = 1。第二个结果表明没有相对于同一谓词最大化y的值。第三次调用说x = 3，y = 1使关于x的谓词最小化。第四次调用说x = 3，y = 1使关于y的谓词最小化。（有关详细信息，请参阅http://hackage.haskell.org/packages/archive/sbv/0.9.24/doc/html/Data-SBV.html#g:34。）

您还可以使用“Iterative”选项（而不是Quantified）让库迭代地执行优化，而不是使用量词。这两种技术不等效，因为后者可能会卡在局部最小值/最大值中，但迭代方法可能会解决量化版本对于SMT求解器来说无法处理的问题。

确定任意命题公式中变量的上限/下限

2 个答案: