Θ表示几何级数的总和

Question

我对几何系列有疑问。为什么

  

1 + c + c ² + ... + c ⁿ =Θ（c ⁿ ）

当c> 1？我理解为什么如果c = 1它是Θ（n）并且如果c <1则它是Θ（1）。 1，但我只是无法弄清楚为什么它是Θ（c ⁿ ）如果c> 1。

谢谢！

Answer 1

几何系列的前n项之和

  

c ⁰ + c ¹ + ... + c ^n-1

由quantitiy

给出

  

（c ⁿ - 1）/（c - 1）

请注意，如果c> 1，然后该数量由c ⁿ -1从上面界定，并且从下面通过c ^n-1 -1 / c界定。因此，它是O（c ⁿ ）和Ω（c ⁿ ），因此它是Θ（c ⁿ ）。

希望这有帮助！

Answer 2

设c＆gt; 1和g（c）= 1 + c + c ² + ... + c ⁿ 。

首先要意识到的是，对于某些n，我们有S（n）=（c ^{n + 1} - 1）/（c - 1）其中S（n）是总和该系列。

所以我们有（c ^{n + 1} - c ⁿ ）/（c-1）＆lt; =（c ^{n + 1} - 1）/（c - 1）= S（n），因为c ⁿ ＆gt; = 1。

所以（c ^{n + 1} - c ⁿ ）/（c-1）=（c ⁿ （c-1）） /（c-1）= c ⁿ ＆lt; = S（n）

因此我们得到S（n）＆gt; = c ⁿ 。

现在我们找到了下限，让我们找一下上限。

观察到S（n）=（c ^{n + 1} - 1）/（c - 1）＆lt; =（c ^{n + 1} ）/（c - 1）=（（c ⁿ ）c）/（c -1）。

简单地说我们对代数的看法，让y = c /（c-1）并将其代入上面的等式。

因此，S（n）＆lt; = y * c ⁿ 其中 y 只是一些常数，因为 c 是！这是一个重要的观察，因为它现在只是c ⁿ 的倍数。

所以现在我们也找到了上限。

因此，我们有c ⁿ ＆lt; = S（n）＆lt; = y * c ⁿ 。

因此，当c> 1时，S（n）=Θ（c ⁿ ）。 1。