嵌套循环的运行时间（Big O）

Question

此算法的运行时间是什么：

for i=1 to n^2
    for j=1 to i
        // some constant time operation

我想说O（n ^ 4）但我无法确定。你怎么知道这个？

Answer 1

n ^ 4是正确的。内循环平均需要（n ^ 2）/ 2次运行，因为i线性上升到n ^ 2，并且运行（n ^ 2）次。

Answer 2

你是对的，它是N^4。

替换M = N^2。现在你的循环改为：

for i in 0..M
    for j in 0..i

这是您熟悉的O(M^2)，因此在反向替换后结果为O((N^2)^2) = O(N^4)。

Answer 3

运行恒定时间操作：

  1 + 2 + 3 + ... + n^2        (n^2 adders)

小于的时间：

  n^2 + n^2 + ... + n^2        (n^2 adders)
= n^2 * n^2
= n^4

所以，显然O(n^4)

---

要证明它是Θ(n^4)，你可以使用liitle math：

   1 + 2 + 3 + ... + n^2   
 = n^2 * (n^2 + 1) / 2
 = n^4 / 2 + n^2 / 2
>= n^4 / 2

Answer 4

使用嵌套循环，Big Oh运行时间乘法。因此外环（N ^ 2）的大哦乘以内部的大哦（N ^ 2）。因此Big Oh是（N ^ 2 * N ^ 2），如果你还记得如何添加类似基数的指数，你会得到N ^（2 + 2）或N ^ 4.

Answer 5

使用Sigma Notation，您最终会有条不紊地获得增长顺序：

Answer 6

n^5 = outer * inner
outer = n^2
inner = n^2 + n^2-1 + n^2-2 +...1