Question

假设您有一个非负整数边长的有向图，其范围在0到U-1之间。计算此图的最小生成树的最快算法是什么？我们仍然可以使用现有的最小生成树算法，例如Kruskal算法O（m log n））或Prim算法（O（m + n log n））。但是，对于U很小的情况，我认为应该可以做得更好。

是否有任何算法可以与更传统的MST算法竞争，这些算法能够利用边长被限制在某个范围内的事实？

谢谢！

Answer 1

Fredman-Willard在单位成本RAM上给出了整数边长的O（m + n）算法。

可以说没有太大的改进：没有边长的限制（即长度是仅支持比较的不透明数据类型），Chazelle给出了O（m alpha（m，n）+ n）算法（ alpha是逆Ackermann函数），Karger-Klein-Tarjan给出了随机O（m + n）算法。

我不认为Darren的想法会导致O（m + n + U）时间算法。 Jarnik（“Prim”）不单调使用其优先级队列，因此可以多次扫描存储桶; Kruskal需要一个不相交的数据结构，不能是O（m + n）。

Answer 2

使用整数边缘权重，您可以使用bucketing来实现具有最差O(1)复杂度的优先级队列，但会增加O(U)空间复杂度。

在您提到的MST算法中，您应该能够使用此整数结构替换基于比较的优先级队列，从而消除复杂性要求中的O(log(n))依赖性。我希望你最终会以O(n + m)的风格结束复杂性。

基本上，您设置了一组压缩链接列表，其中每个列表都由与该存储桶关联的（整数！）成本编制索引：

struct bucket_list
{
    _cost; // array[0..N-1] holding current cost for each item

    _head; // array[0..U-1] holding index of first item in each bucket

    _next; // array[0..N-1] where _next[i] is the next item 
           // in a list for the ith item

    _prev; // array[0..N-1] where _prev[i] is the last item 
           // in a list for the ith item
};

此结构基于以下事实：每个项目一次只能位于一个存储桶列表中。

基于此结构，您可以实现这些操作的最坏情况O(1)复杂性：

push(item, cost); // push an item onto the head of the appropriate bucket list

_pop(item, cost); // _pop an item from (anywhere!) within a bucket list

update(item, old_cost, new_cost); // move an item between buckets by combining
                                  // push and _pop

要将此结构用作优先级队列，您只需维护一个指向要扫描的当前最小存储桶的索引。如果您想获得下一个最低成本项目，只需从此存储桶中弹出头项目即可。如果存储桶为空，则增加存储桶索引，直到找到非空存状态。

当然，如果U变得非常大，额外的空间复杂性，以及在桶上稀疏分布项目的可能性可能会使这种方法没有吸引力。

边长被约束时最小生成树的快速算法？

2 个答案: