如何计算直线和曲线的最近点？ ..还是曲线和曲线？

Question

给定一条直线和二次贝塞尔曲线的点，你如何计算它们的最近点？

Answer 1

INRIA有一篇关于这个问题的科学论文：Computing the minimum distance between two Bézier curves（PDF here）

Answer 2

我曾经写过一个工具来完成类似的任务。贝塞尔样条通常是参数三次多项式。要计算立方体段和直线之间距离的平方，这只是两个多项式函数之间距离的平方，它本身只是另一个多项式函数！请注意，我说的是距离的平方，而不是平方根。

基本上，对于立方体片段上的任何点，可以计算从该点到该线的距离的平方。这将是一个6阶多项式。我们可以最小化距离的平方吗？是。最小值必须发生在该多项式的导数为零的地方。因此，区分，得到五阶多项式。使用您最喜欢的根查找工具，以数字方式生成所有根。詹金斯＆amp; Traub，无论如何。从该组根中选择正确的解决方案，排除任何复杂的解决方案，并且只有当它位于相关的立方体段内时才选择解决方案。确保排除与距离的局部最大值相对应的点。

所有这些都可以有效地完成，并且除了多项式根查找器之外不需要使用迭代优化器，因此不需要使用需要起始值的优化工具，只能在该起始值附近找到解决方案。

例如，在3-d图中我显示了由3-d（红色）中的一组点生成的曲线，然后我采取了另一组位于外面的圆，我计算了最近点在每条曲线的内部曲线上，向下划线到该曲线。这些最小距离点是由上述方案产生的。

Answer 3

1.简单的坏方法 - 通过迭代从第一条曲线逐点进行，并从第二条曲线逐点进行并获得最小值 2.确定曲线之间距离的数学函数和该函数的计算限值，如：

| Fcur1（t）的-Fcur2（T）| - 大于0

Fs是矢量。

我认为我们可以计算出它的导数来确定极值并获得最近和最近点

我想到这一段时间后，并发布完整的回复。

Answer 4

根据标准分析制定您的问题：您有一个最小化（距离）的数量，因此您需要为此数量制定一个等式，并找到一阶导数为零的点。使用曲线的参数p使用单个参数进行参数化，该参数在第一个点的0和最后一个点的1之间。

在线的情况下，方程式非常简单：从样条方程中获取x / y坐标，并通过矢量方程计算到给定线的距离（标量乘以线的法线）。

在曲线的情况下，分析解决方案可能变得相当复杂。你可能想要使用数值最小化技术，如Nelder-Mead，或者，因为你有一维连续问题，简单的二分法。

Answer 5

我只是想给你一些提示，对于Q.B.Curve //段： 为了获得足够快的计算，我认为你应该首先考虑为你的算法使用一种“边界框”。 假设P0是Q的第一个点.B。曲线，P2是第二个点，P1是控制点，P3P4是段然后：

1. 计算从P0，P1，P2到P3P4的距离
2. 如果P0或P2是最近点 - >这是P3P4曲线的最近点。结束：=）。
3. 如果P1是最近点，而Pi（i = 0或1）是第二个最近点，则PiPC和P3P4之间的距离是您寻找可能足够精确的距离的估计值，视您的需要而定。
4. 如果你需要更精确：计算P1'，这是距离P1最近的Q.B.curve上的点：你发现它应用了t = 0.5的BQC公式。 - ＆GT;从PiP1'到P3P4的距离是一个更准确的估计 - 但更昂贵 - 。
5. 请注意，如果P1P1'定义的线与P3P4相交，则P1'是距离P3P4最近的QBC点。
6. 如果P1P1'没有与P3P4相交，那么你运气不好，你必须走得很厉害......

现在，如果（以及何时）你需要精确度：

考虑在曲线参数上使用分而治之算法：  哪个离P3P4最近？ P0P1'或P1'P2 ???如果它是P0P1' - > t在0和0.5之间，因此对于t = 0.25计算Pm。 现在哪个离P3P4最近？ P0Pm或PmP1'??如果它是PmP1' - >计算Pm2为t = 0.25 + 0.125 = 0.375那么哪个最近？ PmPm2或Pm2P1'???等等 您将立即获得准确的解决方案，例如6次迭代，您的t精度为0.004！当两点之间的距离变得低于给定值时，您可能会停止搜索。 （并没有区别两个参数，因为参数稍有变化，点可能很远） 实际上，该算法的原理是每次越来越精确地近似曲线。

对于曲线/曲线情况，我首先将它们“装箱”以避免无用的计算，因此首先使用分段/分段计算，然后（可能）分段/曲线计算，并且仅在需要的曲线/曲线计算时使用。

对于曲线/曲线，分而治之的作品也很难解释，但你可能会弄明白。 ：=）

希望您可以通过以下方式找到速度/准确度的良好平衡：=）

编辑：想想我为一般情况找到了一个很好的解决方案:-) 你应该迭代每个B.Q.C的（内部）边界三角形。 因此我们有三角形T1，点A，B，C具有't'参数tA，tB，tC。 和三角形T2，点D，E，F，具有t参数tD，tE，tF。 最初我们有tA = 0 tB = 0.5 tC = 1.0，T2 tD = 0，tE = 0.5，tF = 1.0 我们的想法是递归调用一个过程，将T1和/或T2分成更小的矩形，直到我们达到精度。 第一步是计算T1与T2之间的距离，跟踪每个三角形上最近的段。第一个“技巧”：如果在T1上该段是AC，则在T1上停止递归，曲线1上的最近点是A或C.如果在T2上最近的段是DF，则在T2上停止递归，最近的点在Curve2是D或F.如果我们停止了两者的递归 - ＆gt;返回距离= min（AD，AF，CD，CF）。然后，如果我们在T1上具有递归性，并且段AB最接近，则新的T1变为：A'= AB =曲线的点，其中tB =（tA + tC）/ 2 = 0.25，C =旧B.同样适用于T2：应用所需的递归，并在新T1和新T2上调用相同的算法。当在T1和T2之间找到距离减去在先前T1和T2之间找到的距离时停止算法低于阈值。 该函数可能看起来像ComputeDistance（curveParam1，A，C，shouldSplitCurve1，curveParam2，D，F，shouldSplitCurve2，previousDistance），其中points也存储它们的t参数。

请注意，距离（曲线，线段）只是此算法的一个特例，您应该实现距离（三角形，三角形）和距离（线段，三角形）以使其工作。玩得开心。

Answer 6

如果是Bézier曲线和一行

最接近该线的三个候选者：

1. Bézier曲线段上与线平行的位置（如果存在这样的位置），
2. 曲线段的一端
3. 曲线段的另一端。

测试所有三个;最短距离获胜。

在两条Bézier曲线的情况下

取决于您是否需要精确的分析结果，或者优化的数值结果是否足够好。

分析结果

给出两条Bézier曲线 A （ t ）和 B （< em> s ），您可以推导出本地方向的方程 A '（ t ）和 乙“（适用取值）。点对 A '（ t ）= B '（< em> s ）是候选者，即曲线在本地平行的（ t ， s ）。我没有检查过，但我认为 A '（ t ） - B '< / strong>（ s ）= 0可以通过分析解决。如果您的曲线与您在示例中显示的曲线类似，那么应该只有一个解决方案或没有该方程的解决方案，但可能有两个（或者在曲线相同但翻译的情况下无限多个 - 在这种情况下您可以忽略这一点，因为获胜者将始终是曲线段端点之一）。

在类似于上面的曲线情况轮廓的方法中，测试每个点对以及曲线段端点。最短距离获胜。

数值结果

假设两条Bézier曲线上的点被定义为 A （ t ）和 B （取值）。您希望最小化距离 d （ t ， s ）= | A （ t ） - B （ s ）|。这是一个简单的双参数优化问题：找到最小化 d 的 s 和 t （ t ， s ）约束0≤ t ≤1且0≤ s ≤1。

由于 d = SQRT（（xA - xB）²+（yA - yB）²），您还可以最小化函数 f （ t ， s ）= [ d （ t ， s ）]²保存平方根计算。

此类优化问题有numerous ready-made methods。挑选。

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请注意，在上述两种情况下，任何高于二次Bézier曲线的数据都可以为您提供多个局部最小值，因此需要注意这一点。从您给出的示例来看，您的曲线看起来没有拐点，因此这种担忧可能不适用于您的情况。

Answer 7

法线匹配的点是它们最近的点。我的意思是你绘制一条与线正交的线。 。如果该线与曲线正交，则交点是最近点