Question

有人能指出我对以下问题的正确方法：我有一个填充了0和1值的方阵（N * N）。我需要在矩阵中找到两个矩形，因此他们检查以下条件：

矩阵中的每个元素1必须包含在至少一个矩形中;
两个矩形的曲面总和必须最小（允许其中一个矩形的表面为0）。

更具体的是矩形是什么：矩形由两个区间[a1，b1]，[a2，b2]定义，并包含所有矩阵单元格（i，j），因此a1≤i≤b1 ，a2≤j≤b2。更清楚表面是什么意思：（b1-a1 + 1）·（b2-a2 + 1）。

请你帮我解决一些想法。非常感谢。

EDIT1：两个矩形可能重叠。

EDIT2：允许其中一个矩形表面为0

Answer 1

我最初的做法。这在最佳解决方案需要重叠矩形的情况下不起作用（例如0s背景上的“+”1s）。

找到包含所有1的最小边界矩形。

您的第一个矩形从此边界矩形的左上角延伸，您的第二个边界矩形从   这个边界矩形的右下角。

对于边界矩形顶部和底部之间的每一行，创建从顶部延伸到R和的候选矩形   从底部到R，都是边界矩形的宽度。

减少这两个候选项，使它们成为其中1s的最小边界矩形。这些矩形对都满足   要点1.在所有R上保持最小值。

从第2步开始重复以覆盖整个边界矩形中的每对角，并保持整体最佳解决方案。

在几次中止尝试有效解决方案后，在某些情况下每个都失败了，我认为找到最佳解决方案的唯一方法如下：

您只需要考虑1的边界矩形。两个边界矩形不会位于该区域之外。假设边界矩形从行（R1，C1）到（R2，C2）。

    For S1 in R1 to R2
        For S2 in S1 to R2
            For D1 in C1 to C2
                For D2 in D1 to C2
                    Reduce the rectangle (S1, C1)-(S2, C2) to be the minimum bounding rectangle of the 1s it contains
                    Reduce the rectangle (R1, D1)-(R2, D2) to be the minimum bounding rectangle of the 1s it contains that aren't already in the other rectangle. This is a candidate solution.

                    Reduce the rectangle (R1, D1)-(R2, D2) to be the minimum bounding rectangle of the 1s it contains.
                    Reduce the rectangle (S1, C1)-(S2, C2) to be the minimum bounding rectangle of the 1s it contains that aren't already in the other rectangle. This is another candidate solution.

选择您找到的最佳候选解决方案。

注意：

最佳解决方案不会有重叠的矩形，因为这样的解决方案总是可以通过减少其中一个矩形来改进，因此它不再重叠。因此，我们只需要在步骤3中选择一个R（而不是每个矩形的独立最大行）。
无论是按行（R）还是按列（C）分割都没关系，但不需要同时进行。对于速度，您可以在边界矩形较短且较胖时选择行，在较高和较薄时选择列。
如果您找到一个候选解决方案，其中任何一个矩形都不包含任何零，那么它必须是最佳解决方案，您可以停止。

方阵中的最小矩形面 - 算法

1 个答案: