Question

我只是想知道是否有人能够为我澄清平衡树的定义。我知道“如果每棵子树都是平衡的，那么树就会平衡，而且两棵子树的高度最多相差一个。

如果这是一个愚蠢的问题我很抱歉，但是这个定义是否适用于每个节点一直到树的叶子，或者只适用于直接离开根的左右子树？我想另一种框架方式是，树的内部节点是否可能不平衡并且整个树保持平衡？

Answer 1

约束通常递归地应用于每个子树。也就是说，只有在以下情况下树才能平衡：

左右子树的高度最多相差一个，AND
左子树是平衡的，AND
正确的子树是平衡的

据此，下一棵树是平衡的：

     A
   /   \
  B     C  
 /     / \  
D     E   F  
     /  
    G

下一个不平衡，因为C的子树高度相差2：

     A
   /   \
  B     C   <-- difference = 2
 /     /
D     E  
     /  
    G

也就是说，第一点的具体约束取决于树的类型。上面列出的是AVL trees的典型值。

Red-black trees强加了一个更柔和的约束。

Answer 2

有几种方法可以定义“平衡”。主要目标是将所有节点的深度保持为O(log(n))。

在我看来，您所谈论的平衡条件是 AVL树 以下是 AVL树的平衡条件的正式定义：

对于AVL中的任何节点，其左子树的高度与其右子树的高度相差最多 1。

接下来的问题，什么是“身高”？

二叉树中节点的“ height ”是从该节点到叶子的最长路径的长度。

有一个奇怪但常见的情况：

人们将空树的高度定义为(-1)。

例如，root的左边孩子是null：

              A  (Height = 2)
           /     \
(height =-1)       B (Height = 1) <-- Unbalanced because 1-(-1)=2 >1
                    \
                     C (Height = 0)

确定另外两个例子：

是，平衡树示例：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=1)     C (h=2)        
/          /   \
D (h=0)  E(h=0)  F (h=1)
               /
              G (h=0)

不，不是平衡树示例：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=0)     C (h=2)        <-- Unbalanced: 2-0 =2 > 1
           /   \
        E(h=1)  F (h=0)
        /     \
      H (h=0)   G (h=0)

Answer 3

这两件事没有区别。想一想。

让我们采用一个更简单的定义，“即使数字为零，或者数字减去2，也是正数。”这是否说8即使6是偶数？或者这说8即使6,4,2和0是偶数？

没有区别。如果它说8即使6是偶数，它也说6即使4是偶数。因此它也说即使2是偶数也是4。因此它表示2即使0是偶数也是如此。所以如果它说8即使6是偶数，它（间接）说8即使6,4,2和0是偶数。

这里也是一样的。任何间接子树都可以通过一系列直接子树找到。因此，即使它只直接应用于直接子树，它仍然间接应用于所有子树（以及所有节点）。

Answer 4

平衡树是一棵树，其高度为log的顺序（树中元素的数量）。

height = O(log(n))
O, as in asymptotic notation i.e. height should have same or lower asymptotic
growth rate than log(n)
n: number of elements in the tree

给定的定义＆＃34;树是平衡的，每个子树是平衡的，两个子树的高度最多相差一个＆＃34;其次是AVL树。

由于AVL树是平衡的，但并非所有平衡树都是AVL树，平衡树不能保持这个定义，内部节点可能不平衡。但是，AVL树需要平衡所有内部节点。

Answer 5

平衡树的目的是以最小的遍历（最小高度）到达叶子。树的数量是分支数减1。平衡树可能不是二进制。

Answer 6

树中节点的高度是从该节点向下到叶子的最长路径的长度，同时计算路径的起点和终点。
如果树中子节点的高度相差不超过1，则该节点是高度平衡的。
如果树的所有节点都是高度平衡的，则树是高度平衡的。

平衡树的定义

6 个答案: