Question

我想知道如何使用DP来解决这个问题。

给定n个球和m个箱子，每个箱子有最大值。容量c1，c2，... cm。将这些n球分配到这些m箱中的总方式是多少。

我面临的问题是

如何找到递归关系（当容量都是单个常数c时，我可以。）
将会有几个测试用例，每个测试用例都有自己的c1，c2 .... cm。那么DP如何实际应用于所有这些测试用例，因为答案明确取决于当前的c1，c2 .... cm，并且我无法存储（或预先计算）c1，c2的所有组合的答案。 ...厘米。

此外，我也无法针对这个问题提出任何直接的组合公式，我也不认为存在这样的公式。

Answer 1

存在针对此问题的组合公式。找到问题解决方案的问题等同于找到方程式的解的数量 x1 + x2 + x3 + ... + xm = n where xi < ci Which is equivalent to finding the cofficient of x^n in the following equation (1+x+..x^c1)(1+x+..+x^c2)...(1+x+...+x^cm)
这个等式的递归非常简单 M(i,j) = summation(M(i-1, j-k)) where 0<= k <= cj M(i,j) = 0 j <= 0 M(i,1) = i given for every 1= 1 M(i,j) is the number of ways of distributing the j balls in first i bins.

For the Dynamic Programming part Solve this recursion by Memoization, You will get your DP Solution automatically.

Answer 2

您可以定义您的函数，假定限制c[0]，c[1]，... c[m-1]已修复，然后编写递归公式，返回分配n个球的方式数进入垃圾箱从索引k开始。通过这种方法，基本公式就是

def solutions(n, k):
    if n == 0:
        return 1  # Out of balls, there's only one solution (0, 0, 0, 0 ... 0)
    if k == m:
        return 0  # Out of bins... no solutions
    total = 0
    for h in xrange(0, min(n, c[k])+1): # from 0 to c[k] (included) into bin k
        total += solutions(n - h, k + 1)
    return total

然后你需要添加memoization（这将等同于DP方法）和其他一些优化，例如：如果n > c[k] + c[k+1] + c[k+2] + ...那么你知道没有搜索没有解决方案（你可以预先计算部分和）。

使用动态规划将球分配到具有给定容量的“箱”中

2 个答案: