Question

想象一下，你有 n 项和 m 箱。所有项目都是相同的，但是箱子是不同的。什么是随机选择一个项目分配到箱子中的最快算法？

例如 - 想象104是将5个项目放置到3个箱子中。有5个项目可能有21个可能放置到3个箱子中：

005  014  023
032  041  050
104  113  122
131  140  203
212  221  230
302  311  320
401  410  500

对于大量商品和垃圾箱，我应该如何选择n个商品放置到m个投放箱中，以便每个可能的展示位置都有相同的机会？对于给定的n和m选择，将进行多次。

Answer 1

以下是针对两种情况的两种算法。

您有大量可用内存，并且您会进行多次展示。在这种情况下，您可以使用内存预先计算并将n项目的所有可能展示位置存储到{ {1}}箱子。如果我们让m为C(n, r)项目中r个项目的组合数量，而不重复且不考虑订单，那么可能的展示位置数量为n。（该公式在组合学中非常标准，并使用stars and bars method）。在你的例子中，那是

C(m+n-1, m-1)

（如果MathJax在StackOverflow中可用，我可以使用标准数学符号使其看起来更漂亮。）在程序的设置中，可以使用这个想法的小递归例程生成这些放置 - 放置{{1将项目（C(5+3-1, 3-1) = C(7, 2) = 7!/2!/(7-2)! = 7/1*6/2 = 21）放入第一个bin中，然后将剩余的k项放入剩余的0 <= k <= n个bin中。然后，每次要随机放置时，请选择介于1和n-k之间的随机数，并将其用作索引来选择放置。每个附加放置的时间成本只是一个随机数计算和一个阵列访问。你不可能比这更好。

你几乎没有可用的内存，你会做一个或几个展示位置。然后你可以选择一个迭代例程来计算多个组合系数。

首先，计算m-1个商品在C(m+n-1, m-1)个投放箱n中的可能展示位置数，然后从1到该组合数中选择一个随机数m。让C(m+n-1, m-1)为要放在第一个bin中的项目数。然后，r个分区中剩余k个项目，其中n-k个数量为m-1。现在从C(m+n-k-2, m-2)开始循环k。如果0的计数超过或等于k=0，我们决定在第一个bin中设置r项。如果不是，请将k=0增加1，然后按{组合数>减少k，并找到新r的新组合计数。如果该计数超过或等于k，我们决定在第一个bin中设置r项。如果没有，请将k增加一个......你明白了。当我们选择k的特定值时，我们将k替换为n，n-k替换为m，请保留m-1，就像现在一样，并移动到下一个垃圾箱。

对此进行计数是r遍历项目的n次迭代，以及m次迭代和组合系数计算的m+n次迭代。唯一的内存使用是一些简单的变量和最终放置到m个bin中。你想要一个好的组合系数计算器例程。

（后来补充：我已完全编码此例程，并找到了一种更好的方法来计算所涉及的概率而无需查找组合数。这减少了计算时间并完全达到了{{1如果我能找到一个好的函数来直接找到一个给出一定概率的值，那么这可以简化为m+n。但是我找不到这样的函数。我可以找到近似值，如果您愿意接近均匀分布的展示位置，而不是完全均匀的分布。）

让我知道如果您想要一些Python代码演示常规，但要明确您所处的情况并首先展示您自己的努力。

Answer 2

五个相同的项目可以分布在三个不同的区域中，分别以3个⁵ = 243种方式分别导致这21个分布中的一个：

500   410   320   311   221  
050   401   302   131   212  
005   140   230   113   122  
      104   203  
      041   032  
      014   023

你会注意到这里有两种机制可用：首先，数字5可以用5种不同的方式（列）分成最多3个部分，其次每个这样的分区都有许多排列（行）。

要枚举具有有限数量的部分的分区，请使用递归算法，例如，有5个项目和3个箱子：

5 items in 1 bin  
4 items in 1 bin + recurse with 1 item in 2 bins  
3 items in 1 bin + recurse with 2 items in 2 bins
2 items in 1 bin + recurse with 3 items in 2 bins

仅生成非上升序列，如[2,2,1]，而不是[2,1,2]或[0,2,3]，因为从不在当前bin中放入小于项目数除以箱数（这就是为什么上面例子中第一个箱子里没有1个项目的选项）。

（可以通过使用memoization来加速分区。）

要计算每个分区的概率（即排列的数量），将分箱数的阶乘除以分箱数的阶乘与一定数量项的乘积：

5,0,0   3! / (1! x 2!)      = 3  
4,1,0   3! / (1! x 1! x 1!) = 6  
3,2,0   3! / (1! x 1! x 1!) = 6  
3,1,1   3! / (1! x 2!)      = 3  
2,2,1   3! / (2! x 1!)      = 3  
                             --
                             21

然后，从1到21中选择一个随机数，并选择相应的分区及其排列;例如选择13将意味着分区[3,2,0]和它的第四个排列[2,0,3]。

因此，我们不是枚举所有（在5：3示例中为243）选项或所有（21）分布，而是枚举（5）分区，如果没有更快，则可能是（最多6个）排列获得第n个独特排列的方法。对于大数字，这应该会产生巨大的差异。

（有关其中某些步骤的详细信息和代码示例，请参阅this answer相关问题。）

统一选择物品分配到箱子中

2 个答案: