使用Mathematica无法解决双体问题？

Question

编辑：

@auxsvr是正确的，我有力方程式错误，关于 -3/2指数。

另一种看待它的方法只是为了2维，并考虑一个 从原点起作用的力，与重力成正比，与1 / r ^ 2成正比， 其中r是距离原点的距离。

在（x，y）处，力作用于方向（-x，-y）。但是，就是这样 只是方向，而不是幅度。如果我们用k作为常数 比例，力是（-kx，-ky）。

力的大小因此是Sqrt [（ - kx）^ 2 +（ - ky）^ 2]，或者 k * Sqrt [x ^ 2 + y ^ 2]，或k * Sqrt [r ^ 2]或k * r

由于力大小也是1 / r ^ 2，这给出了k = 1 / r ^ 3。

因此力（-x / r ^ 3，-y / r ^ 3）。

由于我最初使用r ^ 2作为我的主要数量，那是（r ^ 2）^（ - 3/2），这是3/2的来源。

这实际上使我的问题无效，尽管它仍然有效 有趣的理论讨论。

我用正确的方程重试了这个Mathematica，但仍然得到了 没有答案。正如其他人指出的那样，结果只是一个椭圆形 某些条件（在其他情况下可能是抛物线或双曲线）。

此外，虽然最终的轨道是圆锥形截面，但是 初始轨道可以螺旋进出，直到最后的圆锥截面轨道 已完成。

编辑结束此处

我正在使用Mathematica解决双体问题：

DSolve[{
    d2[t] == (x1[t]-x0[t])^2 + (y1[t]-y0[t])^2 + (z1[t]-z0[t])^2,
    D[x0[t], t,t] == (x1[t]-x0[t])/d2[t],
    D[y0[t], t,t] == (y1[t]-y0[t])/d2[t],
    D[z0[t], t,t] == (z1[t]-z0[t])/d2[t],
    D[x1[t], t,t] == -(x1[t]-x0[t])/d2[t],
    D[y1[t], t,t] == -(y1[t]-y0[t])/d2[t],
    D[z1[t], t,t] == -(z1[t]-z0[t])/d2[t]
    },
    {x0,y0,z0,x1,y1,x1,d2},
    t
]

但我回来了：

  

因变量而非方程式，因此系统超定。

我算了7个方程和7个因变量？

事实上，该系统是半未确定的，因为我没有在0时提供位置和速度。

我意识到我的方程式本身可能对于两体问题是错误的，但我仍然想知道为什么Mathematica抱怨这个。

Answer 1

NDSolve怎么样？

d2[t_] = (-x0[t] + x1[t])^2 + (-y0[t] + y1[t])^2 + (-z0[t] + 
    z1[t])^2; sol = {x0, y0, z0, x1, y1, z1} /. 
  NDSolve[{x0''[t] == (-x0[t] + x1[t])/d2[t], 
     y0''[t] == (-y0[t] + y1[t])/d2[t], 
     z0''[t] == (-z0[t] + z1[t])/d2[t], x1''[t] == -x0''[t], 
     y1''[t] == -y0''[t], z1''[t] == -z0''[t], x0[0] == 0, y0[0] == 0,
      z0[0] == 0, x1[0] == 1, y1[0] == 0, z1[0] == 0, x0'[0] == -0.5, 
     y0'[0] == 1, z0'[0] == 0.5, x1'[0] == 0.5, y1'[0] == -1, 
     z1'[0] == -0.5}, {x0, y0, z0, x1, y1, z1}, {t, 0, 120}][[1]]

r = 3;
 Animate[
  Graphics3D[
   {
    PointSize -> 0.05,
    Point[{sol[[1]][t], sol[[2]][t], sol[[3]][t]}],
    Point[{sol[[4]][t], sol[[5]][t], sol[[6]][t]}],
    Red,
    Line[Table[{sol[[1]][t1], sol[[2]][t1], sol[[3]][t1]}, {t1, 0, t, 0.1}]],
    Green,
    Line[Table[{sol[[4]][t1], sol[[5]][t1], sol[[6]][t1]}, {t1, 0, t, 0.1}]]
   }, 
   PlotRange -> {{-r, r}, {-r, r}, {-r, r}}
  ], {t, 0, 120}, AnimationRate -> 4
 ]

Answer 2

我很惊讶没有人注意到每个人都错误地写出了运动方程，这从图中可以看出，因为两个物体的引力势中的有界轨道总是闭合的（Bertrand定理）。正确的运动方程是

{x0''[t] == (-x0[t] + x1[t])/d2[t]^(3/2), 
 y0''[t] == (-y0[t] + y1[t])/d2[t]^(3/2),
 x1''[t] == -x0''[t], 
 y1''[t] == -y0''[t]}

与

d2[t_]:= (x1[t]-x0[t])^2 + (y1[t]-y0[t])^2

因为对于中心力场，运动是平面的。此外，必须适当地设定初始条件，否则质心移动并且轨道不再是圆锥形截面。