我试图理解在下面的代码中执行语句“x = x + 1”多少次，作为“n”的函数：
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=i; j++)
for (k=1; k<=j; k++)
x = x + 1 ;
如果我没错，第一个循环执行 n 次，第二个循环 n（n + 1）/ 2 次，但是在第三个循环我走开。也就是说，我可以指望它会被执行多少次，但我似乎无法找到公式或用数学术语解释它。
你能吗？
顺便说一下，这不是家庭作业或其他任何东西。我刚刚在一本书上发现并认为这是一个有趣的概念。
答案 0 :(得分：14)
考虑循环for (i=1; i <= n; i++)。看到这会循环 n 次，这是微不足道的。我们可以将其绘制为：
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现在，当你有两个这样的嵌套循环时，你的内循环将循环 n（n + 1）/ 2 次。请注意这是如何形成三角形的，事实上，这种形式的数字称为triangular numbers。
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因此，如果我们将其扩展到另一个维度，它将形成一个四面体。由于我不能在这里做3D，想象每一个都是彼此叠加的。
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这些被称为tetrahedral numbers，由此公式生成：
n(n+1)(n+2)
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6
您应该能够确认小测试程序确实如此。
如果我们注意到 6 = 3！，那么看how this pattern generalizes to higher dimensions就不难了：
n(n+1)(n+2)...(n+r-1)
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r!
此处， r 是嵌套循环的数量。
答案 1 :(得分：1)
数学公式为here。
这是O（n ^ 3）的复杂性。
答案 2 :(得分：1)
此数字等于三元组数{a，b，c}，其中＆lt; = b＆lt; = c＆lt; = n。 因此，它可以表示为Combination with repetitions.。在这种情况下，重复组合的总数为：n（n + 1）（n + 2）/ 6
答案 3 :(得分：0)
第3个内部循环与第2个内部循环相同，但 n 是一个公式。
所以，如果你的外环是 n 次......
，你的第二个循环是n(n+1)/2次......
你的第三个循环是......
(n(n+1)/2)((n(n+1)/2)+1)/2
它相当蛮力，绝对可以简化，但它只是算法递归。
答案 4 :(得分：0)
1 +（1 + 2）+（1 + 2 + 3）+ ...... +（1 + 2 + 3 + ... n）
答案 5 :(得分：0)
你知道第二个循环执行了多少次，所以可以用一个循环替换前两个循环吗？像
for(ij = 1; ij < (n*(n+1))/2; ij++)
for (k = 1; k <= ij; k++)
x = x + 1;
应用你用于第一个的相同公式，其中'n'是这个时间n（n + 1）/ 2你将拥有（（n（n + 1）/ 2）*（n（n + 1） ）/ 2 + 1））/ 2 - 执行x = x + 1的次数。