基本算法分析和求和表示法

Question

因此，对于作业，我们必须计算一段代码中的步数。这是：

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n*n; i++)
   for (int j = 1; j <= i; j++)
      for (int k = 1; k <= 6; k++)
          sum++;

我的教授（我认为）解释说，第二行中的操作数量可以使用求和符号找到，如下所示：

n^2
Σ   x 4 + 3 
i=1

这将是1/2（n ^ 4 + n ^ 2）x 4 + 3 = 2n ^ 4 + 2n ^ 2 + 3

但是从我看来，我认为它会像4n ^ 4 + 2（我的教授说4n ^ 4 + 3，我不知道第三次操作在哪里......）

我在这里做错误符号吗？对于我来说，对嵌套for循环进行求和表示法是有道理的，但我不知道为什么它本身可以用于for循环。

感谢。

Answer 1

实际上即使你的教授结果也是错误的。确切的结果是3n^4+3n^2。

要获得该结果，只需考虑：

所有段落都非常简单（如果你考虑第一个n自然数之和的公式，那么从第4步到第5步的过程是立竿见影的。

Answer 2

我猜你和你的教授都错了。根据我的计算（我可能也错了）它应该是 3n^4+3n^2 。

最外面的循环将运行n ^ 2次。考虑到这一点，内部循环将在第一次迭代中运行1次，依此类推直到n^2。即来自j=1 to j=1,2,3,4 ... n^2。如果我们对系列(1+2+3...n^2)求和，则会变为(n^2(n^2+1))/2。

因此，对于外部循环的n ^ 2次迭代，内部循环将执行(n^2(n^2+1))/2次。对于第二个循环的每次迭代，最内部循环执行六次。因此，只需将(n^2(n^2+1))/2与6相乘，即可评估为 3n^4+3n^2 。

要查看答案，我们举个例子。说n=5，运行你的算法并输出这将给1950年的总和。现在在评估的表达式中替换这个值，这将类似3(5^4)+3(5^2)，并再次评估为1950。

Answer 3

您需要计算的是：

S = sum(i in 1..n^2) sum(j in 1..i) sum(k in 1..6) 1

现在，最里面的总和显然是6，因此我们有

S = sum(i in 1..n^2) sum(j in 1..i) 6
  = 6 sum(i in 1..n^2) sum(j in 1..i) 1

最里面的总和只是前i个数字的总和，你应该知道它是i(i + 1)/2，给出

S = 6 sum(i in 1..n^2) i(i + 1)/2
  = 3 sum(i in 1..n^2) i(i + 1)
  = 3 sum(i in 1..n^2) (i^2 + i)

我们可以将其分为两个部分：

S = 3 [ (sum(i in 1..n^2) i^2) + (sum(i in 1..n^2) i) ]

第二个数字只是我们的老朋友，第一个n ^ 2数字的总和，所以扩展很容易。

第一个总和有一个新朋友，第一个n ^ 2个方格的总和。如果您手边不知道，可以谷歌。

放入公式，展开一点，用扫帚整理，你应该得到答案。

干杯！