对部分排序的数组进行排序

Question

  

可能重复：
  Interview Q: sorting an almost sorted array (elements misplaced by no more than k)

我有一个部分排序的数组，其属性是每个元素都在其正确排序位置的d个单位内。我想知道是否有办法对此数组进行排序 - 通过利用这一事实 - 在不到n log n的时间内。

Answer 1

是;可以在O（nd）时间内排序。一种解决方案是插入排序的简单修改。我们从头到尾处理输入数组;对于每个元素，我们查看输出数组的最后d个元素，并将新元素插入其适当的位置。

当然，可能会有更快的算法;这种特殊的算法选择是为了更容易证明渐近界。

Answer 2

脱离我的头顶......

创建一个大小为2d的“滑动窗口”。

在[0,2d）开始。对窗口中的元素进行排序;现在，元素0到d-1保证是正确的。

向前滑动窗口d，所以现在是[d，3d]。对这些元素进行排序，保证元素d到2d-1是正确的。

向前滑动另一个d，所以现在它[2d，4d]。排序那些。等等。

每种类型都是O（d log d），它需要n / d步才能到达终点，因此这是O（n / d * d log d）= O（n log d）。如果d是常数，那就是O（n）。

[编辑]

你在评论中提出了一个很好的观点;我没有证明每次迭代都保留了每个元素都在其正确位置的d个单位内的属性。

因此...

引理：如果A是一个数组，其属性是每个元素都在其正确位置的d个单位内，并且您在A中对任何连续的子序列进行排序以创建数组A'，那么A'中的每个元素都在d个单位内它的正确位置。

证明：由于这是关于排序属性（不是性能）的引理，因此我们使用什么算法进行排序并不重要。所以使用冒泡排序。找到子序列中任何乱序的两个元素，然后交换它们。只有三种情况：两个元素都在阵列中的正确位置之前;两者都在阵中的正确位置之后;或者它们在阵列中的适当位置之间。

例如，假设A [i]属于位置i'并且A [j]属于位置j'，i <1。 j，但A [i]＆gt; A [J]。因此，我＆gt; j'（因为那是元素“属于”的地方，而A [i]＆gt; A [j]）。案例1：假设i'和j'都大于i和j;也就是说，顺序是i＆lt; j＆lt; j'＆lt;一世'。但是根据假设，我只是来自i的d个单位，所以整个范围最多只有d个单位。所以j也在i'的d个单位内，并且i在j'的d个单位内，所以当我们用A [j]交换A [i]时，两个元素仍然在它们所属的d的范围内。案例2和案例3的分析是相似的。

因此，冒泡排序的每一步 - 在A的任何子序列上 - 将保留所需的属性，从中可以得出整个冒泡排序将保留所需的属性，从该属性跟随 any < / em> sort将保留所需的属性。 Q.E.D。

Answer 3

是的。信不信道，冒泡排序可能是部分排序数组的最佳选择。最好的情况是完全排序的数组，在这种情况下，它的性能是O（n）。

关于泡沫排序的维基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Bubble_sort

编辑：特别是“修改后的冒泡排序”，带有一个标记，以便在已经按顺序时跳过交换。

Answer 4

我相信Timsort（我认为Python使用的是什么？）就是这样做的。

Answer 5

一般的想法是使用adaptive sort。直插式排序是一个，timsort是另一个。这些会自动考虑部分排序。