Question

给出：：T(n) = T(n/10) + T(an) + n代表a（我对其价值一无所知），如果T(n) = 1则为n < 10。 / p>

我想检查以下是否可行（对于某些a值，我想找到最小的 a）：

对于每个 c > 0 ，都有 n₀ > 0 ，这样对于每个 n > n₀ ， T(n) >= c * n 或换句话说T（n）= omega（n）

感谢您的帮助。

Answer 1

假设<9/10。令c = max（1 /（9/10-a），1），使得c≥1和1 / c≤9/10-a。然后对于1≤n <10，

T(n) = 1 ≤ n ≤ cn.

归纳地，对于n≥10，

T(n)
= T(n/10) + T(an) + n
≤ cn/10 + can + n
= c(1/10 + a + 1/c)n
≤ c(1/10 + a + 9/10 - a)n
= cn.

现在假设a = 9/10。对于1≤n <10，我们知道log10 n <1，因此

T(n) = 1 > n log10 n - n.

归纳地，对于n≥10，

T(n)
= T(n/10) + T(9n/10) + n
> (n/10) log10 (n/10) - (n/10) + (9n/10) log10 (9n/10) - (9n/10) + n
= (n/10) log10 (n/10) + (9n/10) log10 (9n/10)
> (n/10) log10 (n/10) + (9n/10) log10 ( n/10)
= (n/10) (log10 n - 1) + (9n/10) (log10 n - 1)
= n log10 n - n.

给定c> 0，选择n0使得log10 n0-1 = c，即n0 = exp10（c + 1）。然后对于所有n> n0，

T(n) > n log10 n - n = n(log10 n - 1) > n(log10 n0 - 1) = cn.

Answer 2

对于每个c> 0，存在n0> 0，因此对于每个n> n0，T（n）> = c * n

我们假设T（n）> = cn对于a和c> 0都成立。

通过用不等式中的递归替换并求解a，您将得到：

T(n) >= c*n

(c*n/10) + (c*a*n) + n >= c*n 

a >= (9/10) - (1/c)

由于我们期望的结果是对所有c都成立（正式应用限制c趋于无穷大，这是RHS最大化的地方），因此我们得到> =（9/10）。因此，a的最小值为（9/10），它将满足所有c的T(n) >= c*n。

在此之后，您可以通过归纳证明确实如此。

Answer 3

在每个函数中，您需要找到方程式的最高影响变量。从总体上讲，影响此功能的最小N可以是任何常数。

计算T（n）的复杂度？

3 个答案: