计算复杂度T（n）= T（n-1）+ n

Question

我必须计算T（n）= T（n-1）+ n的计算复杂度和计算复杂度等级。 我的问题是，我不知道有任何方法可以这样做，而我唯一熟悉的是普遍递归，它并不适用于这项任务。

Answer 1

T(0) = a
T(n) = T(n-1) + n

n    T(n)
---------
0    a
1    T(1-1) + n = a + 1
2    T(2-1) + n = a + 1 + 2
3    T(3-1) + n = a + 1 + 2 + 3
...
k    T(k-1) + n = a + 1 + 2 + ... + k
                = a + k(k+1)/2

基于以上猜测T（n）= O（n ^ 2）。我们可以通过归纳来证明这一点。

基本情况：T（1）= T（0）+ 1 = a + 1＆lt; = c * 1 ^ 2，条件是c> = a + 1。

归纳假设：对于直到并包括k的所有n，假设T（n）<= c * n ^ 2.

诱导步骤：显示T（k + 1）<= c *（k + 1）^ 2。我们有

T(k+1) = T(k) + k + 1 <= c*k^2 + k + 1
<= c*k^2 + 2k + 1          // provided k >= 0
<= c*(k^2 + 2k + 1)        // provided c >= 1
= c*(k+1)^2

我们知道k> = 0并且我们可以选择c为+ 1和1中的较大者，由于T（0）是非负的，因此必须合理地为+ 1。