Question

如何使用f()方法计算T(n)的时间复杂度？

int f (int n)
{
    if (n==1)
        return 1;
    return f(f(n-1));
}

到目前为止我做了什么？

T(n)=T(T(n-1))=T(T(T(n-2)))=T(T(T(T(n-3))))...

另外，我知道对于每个n> = 1，该函数始终返回1

为什么将最后一行从以下位置更改：

return f(f(n-1));

收件人：

return 1+f(f(n-1));

是否会更改时间复杂度（注意：确定会将复杂度从n更改为2 ^ n ）？

Answer 1

时间复杂度发生变化，因为函数并非总是RecyclerView.Adapter来return 1;。

对于+1，第二个return T(T(n-1));呼叫将始终使用T进行呼叫，这只会再增加1个呼叫。呼叫次数为1，因此复杂度为O（n）。

对于2*n-1，并非所有对return 1 + T(T(n-1));的呼叫都将导致T，1将导致T(3)与3的呼叫。因此，第二个调用取决于7的值。递增n将导致通话增加一倍。呼叫数为n，因此复杂度为O（2 ^ n）。在这里您可以看到通话数量：https://ideone.com/1KEAkU

第一个版本（T总是返回1）：

2^n - 1

您会看到，左侧调用（外部调用）将始终以T(4) T(1) T(3) T(1) T(2) T(1) T(1)调用，并且树不会在那里继续。

第二个版本（T并不总是返回1）：

在这里您可以看到，由于返回值T(4) T(3) T(3) T(2) T(2) T(2) T(2) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1) T(1)的更改，第二个T(n) == n通话次数增加了一倍。

因为递归深度不变，所以空间复杂度不会增加，两个T图都有4条线，对于第二棵树，左侧部分只能在右侧部分完全完成后才能执行。例如对于两个T(4)，运行的T(4)个函数的最大数量为T。

Answer 2

向程序添加任何常量C不会改变复杂性。通常，即使添加了5个不包含变量n的新语句，也不会改变复杂度。对于此程序， complexity = n ，因为您知道它最多可以运行n次。

Answer 3

时间复杂度的（正确）递归关系是：

T(n) = T(n-1) + T(f(n-1))

这是因为要计算f（n），首先要计算f（n-1）（成本T（n-1）），然后使用参数f（n-1）调用f（成本T（f（n -1）））。

当f（n）始终返回1时，这将导致T（n）= T（n-1）+1，从而解出T（n）= Theta（n）。

当f的return语句更改为return 1 + f(f(n-1))时，则f(n)为n> = 1返回n（通过简单的归纳证明）。

则时间复杂度为T（n）= T（n-1）+ T（f（n-1））= T（n-1）+ T（n-1）= 2T（n-1），求解为T（n）= Theta（2 ^ n）。

（作为一个有趣的注解，如果在第二种情况下（将+1）将if(n==1)return 1;更改为if(n==1)return 0;），则时间复杂度为Theta（Fib（n）），其中Fib （n）是第n个斐波那契数。

使用T（n）方法计算时间复杂度？

3 个答案: