我有兴趣实施一个干净的解决方案，为3D转换提供4x4矩阵的替代方案。四元数提供等效的旋转，但没有翻译。因此，除了Quaternion之外，还需要一个额外的平移向量（tx，ty，tz）。我一直看到它声明矩阵表示需要12个值，而基于四元数的表示只需要7个。
我不明白的是如何操纵翻译价值。
对于四元数的旋转，没问题。
对于矢量v，轴矢量x和角度a：
q = cos(a/2) + x sin(a/2)
旋转矢量：
v' = qvq^-1
对于多次旋转，您可以将变换应用于四元数，并且只有在进行了最终旋转时才必须将其应用于数据。这就是矩阵变换在3D图形系统中非常好的原因。
好的，现在如果翻译进入，我该怎么办？
给定的向量转换是：
T = (tx,ty,tz)
v' = qvq^-1 + T
如果我想对此应用旋转和平移操作，我将不得不修改T和q。结果应该是什么？
答案 0 :(得分：7)
好吧，我不知道亚当的季节，但我知道这些是线性操作。因此，如果您有一个（旋转，平移）操作（q，T）和另一个（r，U），并按顺序应用它们，则总转换为：
r(qvq^-1 + T)r^-1 + U
从左边的parens中分配r：
(rqvq^-1 + rT)r^-1 + U
然后从右边分配r ^ -1：
rqvq^-1r^-1 + rTr^-1 + U
稍微重新安排：
= (rq)v((rq)^-1) + (rTr^-1 + U)
所以这个组合相当于（rq，rTr ^ -1 + U）的单个（旋转，平移）。如果你可以组成其中的2个，你可以组成其中的N个。
这有用吗，还是我误解了这个问题？
答案 1 :(得分：2)
除了Nemo的答案之外，如果你真的想要一个完全数学构造来表示旋转和翻译，你可以使用双四元数，虽然数学可能有点矫枉过正，但它们有一些不错的属性。基本上只有两个四元数（真实和双重部分）以特殊方式解释。好的方面是，通过在它们上定义的常规操作（乘法，共轭，qvq *，......），你可以用数学上干净的方式计算刚体变换，就像旋转的正常四元数一样。
Wikipedia article可能不具有描述性，但是Ladislav Kavan将它们用于skinning（它们真正发挥了它们优于矩阵的优势）并在his paper中给出了一个很好的解释。 / p>
答案 2 :(得分：1)
您需要注意四元数的一些问题：
四元数逆可以更简单地计算你坚持使用单位四元数。单位四元数的逆是简单的共轭，这是很容易计算的。一般四元数的倒数需要四个乘法，一个平方根和一个除法：如果你需要速度，你不想做的事。
通过四元数转换向量涉及多个乘法和加法，而不是通过矩阵进行转换。如果你需要多次进行相同的变换，你可能想要保持四元数和相应的变换矩阵，并根据手头的操作使用更快/更精确的。
单位四元数是SO（3）组的双重覆盖。否定四元数的所有元素，您将获得相同的转换。
左右四元数。有两种方法可以用四元数q转换向量v：qvq *和q * vq。这两种方案的区别仅在于非共轭四元数是在向量的左侧（左四元数）还是在右侧（右侧的四元数）。两种表示都是完全有效的。选择一个，但要注意，无论你选择哪一个，其他人都会使用另一个。这可以与其他一些包交换四元数有问题（但如果您知道这种歧义存在，则不会）。
转换与轮换。转换与旋转的问题也出现在3x3矩阵中。 （我不是在谈论一些人使用的4x4数学歪曲。）假设你有一张白色方格纸和一张印有图形线的透明纸。将两者对齐，使图线重叠。现在旋转透明度。这种物理旋转可以用旋转矩阵或旋转四元数（或一系列其他表示形式）在数学上描述; SO（3）上有许多图表。）现在想象在白纸上某处有一个点。您可以根据白板的坐标系或透明度的坐标系读出该点的位置。从白板坐标到透明坐标的转换是转换（不是旋转）。转型与轮换是密切相关的概念;一个是另一个的转置（或共轭）。