Question

我正在构建自己的四元数相机。据我所知，你只需要一个四元数来完全指定相机的方向（如果我错了，请纠正我）。那么，我将如何创建视图矩阵？顺便说一下，我正在使用C ++作为编程语言。

任何帮助都将不胜感激。

Answer 1

首先是一些警告。你会在这个主题的网络和文献中看到许多明显相互矛盾的公式。大多数冲突只是明显的。一些是真正的冲突，但那是因为有人弄错了数学。问题是没有一种正确的方法可以做到这一点。您需要知道如何使用四元数和矩阵，源如何使用它们，以及如何纠正这些明显的差异。

轮换与转型
您的相机有一个与之关联的参考框架，底层空间也是如此。您的矩阵是否表示摄像机从底层空间到摄像机方向的物理旋转，或者矩阵是否将底层空间中表示的矢量转换为摄像机的帧？（或其他东西;这里有四种选择。）这些选择是相关的;变换矩阵是旋转矩阵的转置。转换和旋转是共轭操作。同样的概念适用于四元数。您使用转换四元数或旋转四元数吗？这些又是相关的概念;一个是另一个的共轭。

左右四元数
给定单位四元数 q 来转换或旋转向量 v ，有些人使用 qvq ^*来转换/旋转vector，其他人使用 q ^* vq 。哪种形式是正确的？两者都是。这两种形式的区别仅在于非共轭四元数是左侧（ qvq ^*）还是右侧（ q ^{* < / sup> vq ）要转换/旋转的向量。}

列与行向量
大多数人使用列向量，但有些人使用行向量。在这里，你遇到了矩阵的左右问题。列向量通过 Mv 进行变换/旋转，矩阵位于向量的左侧;通过 vM 的行向量，矩阵在右边。

<强>冲击
你必须小心阅读文献。关于从四元数形成矩阵，您需要注意构造矩阵的非对角元素时的符号变化。一种配方的加法/减法可能会改变为另一种配方中的减法/加法。

左变换四元数到行向量变换矩阵
我使用左变换四元数和变换矩阵，我将向量表示为行向量。我还将四元数 q 表示为包含实数标量部分 q _s 和矢量虚部 q _v的。给定这些表示，从四元数生成矩阵的计算是（伪代码）：

// Compute the cosine of the rotation angle.
cost = 2.0*qs*qs - 1.0;

// Construct the diagonal of the matrix:
// T_ii = cost + 2qv_i^2
for (i = 0; i < 3; ++i) {
   T[i][i] = cost + 2.0*qv[i]*qv[i];
}

// Construct off-diagonal transformation matrix elements:
//   T_ij = 2 (qv_i qv_j - eps_ijk qs qv_k), where eps is the Levi-Civita symbol
for (k = 0; k < 3; ++k) {
   i = (k+1)%3;
   j = (i+1)%3;
   T[i][j] = 2.0*(qv[i]*qv[j] - qs*qv[k]);
   T[j][i] = 2.0*(qv[i]*qv[j] + qs*qv[k]);
}

您可能希望将这些循环展开。第一个循环扩展为三个语句，后者为六个语句。您不需要在后一个循环的扩展中计算 i 和 j ;循环的扩展使它们成为固定数量。

替代陈述
上面的那些警告并没有看起来那么糟糕。您需要确保我的陈述与您的陈述一致。赔率是50-50而不是。如果不是，只需将分配交换到非对角元素。对T[i][j]使用T[j][i]的计算，反之亦然。怎么说：

以 s = 1开始。
如果使用旋转四元数而不是转换四元数，则将 s 乘以-1。
如果使用右四元数而不是左四元数，则将 s 乘以-1。
如果使用旋转矩阵而不是变换矩阵，则将 s 乘以-1。
如果使用行向量而不是列向量，则将 s 乘以-1。

如果 s 的最终值为1，请使用我的公式。如果为-1，只需将作业交换为T[i][j]和T[j][i]。或者你可以改变加法的加法，减法加法。

最后一个问题
当标量部分不接近零时，上述计算适用。如果我们有无限精度算术，它在任何地方都是有效的。您可能希望对非常接近零度或180度的旋转使用单独的计算。

Answer 2

维基百科知道：Quaternions and spatial rotation

Answer 3

我建议使用Eigen C ++库来表示四元数和矩阵。当你有一个四元数对象时，你可以简单地在它上面调用.toRotationMatrix()来得到一个3x3矩阵。

另一个可能有用的库是glm。

Answer 4

可配置数学库（http://cmldev.net/）是一个非常轻量级的库，可以为您进行计算。它是一个头库，因此集成到您的代码应该不是问题。此功能（http://cmldev.net/?p=196）也可能对您有所帮助。

从Quaternion查看矩阵

4 个答案: