时间复杂度log（n）与Big O（root n）

Question

尝试分析以下代码段。 对于下面的代码，时间复杂度可以为Big O（log n）吗？我是渐近分析的新手。在本教程中，它说的是O（根n）。

int p = 0;
for(int i =1;p<=n;i++){
p = p +i;
}
,,,

Answer 1

变量p将采用连续值1，1+2，1+2+3等

此序列称为三角数的序列；您可以在Wikipedia或OEIS上了解更多相关信息。

要注意的一件事是公式：

1 + 2 + ... + i = i*(i+1)/2

因此，您的代码可以用等效形式重写：

int p = 0;
for (int i = 1; p <= n; i++)
{
    p = i * (i + 1) / 2;
}

或者，完全摆脱p：

for (int i = 1; (i - 1) * i / 2 <= n; i++)
{
}

因此，您的代码在(i-1)*i <= 2n时运行。您可以进行近似(i-1)*i ≈ i^2来查看循环运行约sqrt(2n)个操作。

如果您对这种近似不满意，则可以求解i的二次方程式：

i^2 - i - 2n == 0

您会发现循环在以下时间运行：

i <= (1 + sqrt(1 + 8n)) / 2 == 0.5 + sqrt(2n + 0.125)