寻找递归算法的时间复杂度

Question

我正在解决一些与找到算法时间复杂度有关的问题，并遇到了这个问题。这让我很难理解该函数的时间复杂度。该代码段的图像如下所示。有人可以帮我理解一下，并向我介绍如何解决这些类型的问题吗？提前非常感谢！

PS-请不要将此问题标记为重复！

Answer 1

简单的情况：假设数组仅包含不同的元素

由于这一假设，最后一行return search...() + 1 + search...()在执行期间最多可以执行一次。

因此，在每个递归调用中，数组中搜索区域的大小都除以2（并减去1）；除了最多有两次递归调用而不是仅1.之外。

当搜索区域达到大小0时，执行结束。

最初，搜索区域的大小为N：它是整个数组。

在N除以2到值1之前，我们可以除以多少次，然后再乘以1，再除以0？

这个问题是众所周知的，因为它在算法中经常发生。答案是大约log2(N)。

因此最多将有log2(N)个递归调用，除非一次执行可能会拆分为递归调用；因此，将在log2(N)和2 log2(N)之间进行递归调用。每个递归调用都是固定时间的；因此执行的总时间为Θ(log(N))。

简并的情况：所有元素都等于k

在这种情况下，两个if条件V[mid] </> k都不是真实的；因此，我们总是会遇到第一种情况（return 0）或最后一种情况（return ... + 1 + ...）。

在这种情况下，该函数的最终返回值为N，因为该函数正在计算数组中k的出现次数。由于返回值仅由+1+构建，因此必须有精确的N调用，每个调用都贡献+1+；在触发的两个递归调用中，最多两个立即返回0；因此，递归调用的总数必须至少为N，并且最多为3*N。因此，复杂度为Θ(N)。

“一般”案件

数组中k的出现可能不止1次。出于与上述相同的原因，算法的复杂度应为Θ(K + log(N))，其中K是K的出现次数，而N是数组的大小。最好的情况是Θ(log(N))，最坏的情况是Θ(N)。总结为O(N)。

平均复杂度

如果我们假设输入数组是按照已知的概率分布随机生成的，则可以计算复杂度的期望值。通常将其称为“平均复杂度”。精确地计算将非常困难，在这种情况下，假设中的概率分布似乎起着巨大的作用，因此不同的分布将导致不同的平均复杂度。例如，如果数组中填充有N个独立且均匀地随机分布的数字，则范围为[0，10 ^ N]，则k在数组中多次出现的概率非常低，因此我猜在这种情况下，预期的复杂度将接近log(N)。但是，如果N个数字是在[0，10]范围内随机抽取的，那么您可以期望数字的十分之一等于k，因此平均复杂度将接近{ {1}}。

通常为算法 Quicksort 计算一个“平均复杂度”，假设一个列表随机地均匀地随机排列。 Quicksort最坏情况下的复杂度是Θ（N）；其最佳情况下的复杂度为Θ（log（N））。假设一个列表随机地随机混洗，其平均复杂度为Θ（log（N））。许多计算机科学教科书都对此进行了“证明”。但是，到目前为止，我所读过的所有有关该主题的教科书在某些时候还是有些手摇的。我还没有发现一本书能以一种真正令人信服的方式来处理证明，而书中所希望的是从数学证明中得到的严谨。