Question

A是一个n×n矩阵。考虑一个返回以下内容的函数algo（A）

def algo(A):
    return algo(A[:n//2, :n//2]) + algo(A[:n//2, n//2:]) + algo(A[n//2:, :n//2]) + \
           algo(A[n//2:, n//2:]) + A.transpose() * A

时间复杂度的公式为O(log(a*n) + n^b)。该问题要求解决a和b。由于矩阵乘法，我将其收集为b = 3。但是，什么是？你能给我个提示吗？谢谢！

Answer 1

如果A的大小为N = n^2，那么如果在简单情况下进行乘法，则algo的时间复杂度为T(N) = 4T(N/4) + N^1.5（我的意思是我们可以使用更聪明的东西，例如Strassen算法）。现在，根据主定理，我们知道T(N) = \Theta(N^1.5) = \Theta(n^3)。

因此，a可以是任何常数。

Answer 2

首先，我们考虑矩阵乘法需要O（n ^ 3）。

我们总是叫algo，我们用四分之一的A再次称呼它。

    T(algo(A))
        |___________
        | | | |     |       
1.     algo(A/4)  O(n³) = 4T(algo(A/4)) + O(n^3)
2.        .
...       .
log(n).   .

在第1行，我们有4个呼叫，在第2行，有16个呼叫，在 i 行，我们有4 ^（i）个呼叫。

算法呼叫的总数为 C = 4 ^ 1 + ... + 4 ^ log （n），因为每次行，我们将前一行的调用乘以4，因此可以将其绑定到：

C = 4^log(n)
C = log(x)      so 2^x = 4^log(n) = 2^(2*log(n))
C = log( 2*log(n) )

总复杂度为O（Cn³），因为每个调用都执行O（n³）操作。

如果总复杂度为O（ log （a * n）+ n ^ b）的形式，则可以简化：

O（ log （2 log （n））*n³）= O（[1 + log （ log < / em>（n））]n³）= O（n³+ log （ log （n））n³）。

由于n³在 log 函数之外，我们可以强制其进入：

O（n³+ log （ log （n））n³）= O（n³+ log （ log （n）* 2 ^（n ^ 3）））。

如果 log （ log （n）* 2 ^（n ^ 3））= a * n，

a = [ log （ log （n）* 2 ^（n ^ 3））] / n ，

b = 3 。

递归算法的时间复杂度

2 个答案: