Question

给出以下嵌套的for循环：

for (int i=n; i>1; i=i/2):
    for (int j=i; j<n; j=j*2)
        # O(1) expression

整个循环的时间复杂度是多少？我的答案是O（log（n）* log（n）），但不确定是否正确。

Answer 1

这是使用格言的好地方

如有疑问，请由内而外！

也就是说，首先进行最内层的循环，然后用表示其正在执行多少工作的表达式替换它，然后重复执行直到完成。

在您的情况下，最里面的循环是

for (int j=i; j<n; j=j*2)
    # O(1) expression

现在，这可以做多少工作？为了回答这个问题，让我们考虑一下循环是如何工作的。在每次迭代中，j的值是之前的两倍。由于j从i开始，所以j取的值将是i，2i，4i，8i等，更一般地说，在循环的第k次迭代中，j的值将是2 ^k ·一世。一旦该值等于或超过n，循环就会终止，

2 ^k·i = n

2 ^k = n / i

k = lg（n / i）

所以这意味着我们将运行Θ（log（n / i））迭代循环。如果将其替换为原始循环，则将剩下以下代码：

for (int i=n; i>1; i=i/2):
    Do Θ(log (n / i)) work;

那最终要完成多少整体工作？好了，外循环将在i = n时运行一次，然后在i = n / 2时运行一次，然后在i = n / 4时运行一次，依此类推，所以完成的总工作量是

Θ（log（n / n）+ log（n /（n / 2））+ log（n /（n / 4））+ ... + log（n / 1））

=Θ（log 1 + log 2 + log 4 + log 8 + ... + log n）

=Θ（log 2 ⁰ + log 2 ¹ + log 2 ² + log 2 ³ + ... +日志2 ^{log n}）

Θ（0 +1 + 2 + ... + log n）

请记住0 + 1 + 2 + ... + k = k（k + 1）/ 2 =Θ（k ²），所以这里要做的总工作是

Θ（0 +1 + 2 + ... + log n）

= Θ（log ² n）。

得出这个答案的关键技术是从内部开始，将对数与重复将大小加倍的循环迭代次数以及1 + 2 + ... + k的公式联系起来。

嵌套for循环的时间复杂度

1 个答案: