Question

下面的代码块的时间复杂度是多少无效函数（int n）。

我的尝试是，最外层的循环将运行n / 2次，而内层的两个将运行2 ^ q次。然后我用n等于2 ^ q并以2为底得到q为1/2（log n）。乘以时间复杂度，我得到的值为O（nlog（n）），而答案是O（nlog ^ 2（n）））。

void function(int n) { 
    int count = 0; 
    for (int i=n/2; i<=n; i++)  
        for (int j=1; j<=n; j = 2 * j)
            for (int k=1; k<=n; k = k * 2) 
                count++; 
}

Answer 1

是时候应用理解循环嵌套的黄金法则了：

如有疑问，请由内而外！

让我们从原始的循环巢开始吧：

    for (int i=n/2; i<=n; i++)  
        for (int j=1; j<=n; j = 2 * j)
            for (int k=1; k<=n; k = k * 2) 
                count++;

该内部循环将运行Θ（log n）次，因为在该循环的m次迭代之后，我们看到k = 2 ^m，并且当k≥n = 2 ^{lg n时停止}。因此，我们用以下更简单的表达式替换该内部循环：

    for (int i=n/2; i<=n; i++)  
        for (int j=1; j<=n; j = 2 * j)
            do Theta(log n) work;

现在，看看最里面的剩余循环。通过与之前完全相同的推理，我们看到此循环也运行Θ（log n）次。由于我们进行了每次都进行Θ（log n）迭代的Θ（log n）迭代，因此我们看到可以用以下更简单的循环代替此循环：

    for (int i=n/2; i<=n; i++)
        do Theta(log^2 n) work;

在这里，外循环运行Θ（n）次，因此总体运行时间为Θ（n log ² n）。

我认为，根据您在问题中所说的话，您具有正确的见解，但只是忘记将对数项的两个副本相乘，两个内环各一个。

Answer 2

您的代码中有3个嵌套循环。

第一个循环运行n/2次，在计算复杂度时几乎等于n。
第二个循环运行logn次。
第三次循环运行logn次。

因此，最终时间复杂度将为O( n * logn * logn ) == O(nlog^2n)。
现在，您可能想知道如何记录两个内部循环的运行时复杂度。可以概括如下：
由于我们在每次迭代中都乘以2，因此我们需要q的值如下：
n = 2 ^ q。

两边都采用日志基础2

log2 n = log2 (2^q)
log2 n = q log2(2)
log2 n = q * 1 [ since, log2(2) is 1 ]

因此，q等于logn。
因此，总体时间复杂度为：O(n*log^2n).

Answer 3

第一个循环需要：n / 2

第二个循环：log（n）

第三循环：log（n）

请注意，由于内部循环的步数乘以2，因此在时间复杂度方面，它们各自的计数器呈指数增长，在n中达到log(n)。

然后，还请注意，在这种情况下，可以安全地忽略诸如1/2的常量，其结果为O(n * log(n) *log(n))，因此：

O（nlog ² n）

嵌套for循环的时间复杂度

3 个答案: