你能以O（n）摊销的复杂性排序n个整数吗？

Question

理论上可以用O（n）的摊销复杂度对n个整数数组进行排序吗？

尝试创建O（n）复杂性的最坏情况怎么样？

今天的大多数算法都建立在O（nlogn）平均值+ O（n ^ 2）最坏的情况下。 有些人虽然使用更多内存，但O（nlogn）最差。

你对内存使用没有限制可以创建这样的算法吗？ 如果你的记忆力有限怎么办？这将如何伤害你的算法？

Answer 1

intertubes上处理基于比较的排序will tell you的任何页面， 排序比O(n lg n)排序的速度快。也就是说，如果您的排序算法通过将2个元素相互比较来确定顺序，那么您不能做得更好。示例包括quicksort，bubblesort，mergesort。

某些算法（如计数排序或存储桶排序或基数排序）不使用比较。相反，它们依赖于数据本身的属性，例如数据中的值范围或数据值的大小。

那些算法可能具有更快的复杂性。以下是一个示例场景：

  

您正在排序10^6个整数，每个整数介于0和10之间。然后你可以只计算零，一，二等的数量，并按排序顺序吐出它们。这就是countort的工作原理，O(n + m)其中m是您的数据可以采用的值的数量（在这种情况下，m=11）。

另：

  

您正在排序长度最多为10^6个字符的5个二进制字符串。你可以使用基数排序：首先根据它们的第一个字符将它们分成2个桶，然后对第二个字符，第三个，第四个和第五个字符进行基数排序。只要每个步骤都是稳定的排序，您应该在O(nm)中得到一个完美排序的列表，其中m是数据中的数字或位数（在本例中为m=5）。

但是在一般情况下，您不能可靠地排序O(n lg n)（使用比较排序）。

Answer 2

到目前为止，我对接受的答案并不满意。所以我正在重试一个答案：

  

理论上可以用O（n）的摊销复杂度对n个整数数组进行排序吗？

这个问题的答案取决于执行排序算法的机器。如果你有一个随机访问机器，它可以正好运行1位，你可以radix sort对最多k位的整数进行操作，这已经建议了。因此，您最终会遇到复杂性O(kn) 但是，如果您使用字大小至少为k位（所有消费者计算机都是）的固定大小的字机操作，那么您可以获得的最佳效果是O(n log n)。这是因为log n < k或者您可以首先执行count sort，然后使用O (n log n)算法排序，这也会产生第一种情况。

  

尝试创建O（n）复杂性的最坏情况怎么样？

这是不可能的。已经给出了一个链接。证明的想法是，为了能够进行排序，如果要对要排序的任何其他元素更大或更小，则必须决定要排序的每个元素。通过使用传递性，这可以表示为决策树，其最多具有n个节点和log n深度。因此，如果您希望性能优于Ω(n log n)，则意味着从该决策树中删除边缘。但是，如果决策树不完整，那么您如何确保对某些元素a和b做出了正确的决定？

  

你对内存使用没有限制可以创建这样的算法吗？

所以从上面来说这是不可能的。因此，剩下的问题无关紧要。

Answer 3

如果整数在有限的范围内，那么它们的O（n）“排序”将涉及具有“n”位的位向量...在所讨论的整数上循环并设置n％8位将该字节数组中的偏移量n // 8设置为true。这是一个“O（n）”操作。列表/枚举/返回/打印所有设置位的该位数组上的另一个循环同样是O（n）操作。 （当然O（2n）被还原为O（n））。

这是一种特殊情况，其中n足够小以适合内存或文件（使用seek（））操作）。这不是一般解决方案;但它在Bentley的“Programming Pearls”中得到了描述 - 并且据称是解决现实世界问题的实际解决方案（涉及类似电话号码的“freelist”......类似于：找到第一个可用的电话号码发给新订户。）

（注意：log（10 * 10）是~24位代表每个可能的长度，长度最多为10位...所以在2 * 31位的典型空间中有足够的空间Unix / Linux最大内存映射）。

Answer 4

我相信您正在寻找radix sort。