求和函数的递归实现的时空复杂度

Question

谁能建议以下代码的时空复杂性？ 我知道时间复杂度应为O（n），因为该函数被调用了n次，并且空间复杂度至少为O（n）（由于堆栈空间），但是确实将a [1：]传递给函数会导致空间复杂度增加了吗？我认为a [1：]将在省略第一个元素的同时创建 a 的新副本，对吗？

def sum(a):
    if len(a) == 1:
        return a[0]
    return a[0] + sum(a[1:])

Answer 1

时间复杂度类似于theta（n ^ 2），因为每次执行a [i：]时，您基本上都会将列表从i复制到末尾，因此必须对其进行迭代。至于空间的复杂性，应用程序堆栈将包含所有要调用的列表，首先是包含n个元素的列表，然后是n-1，依此类推，直到1，然后开始清空堆栈。因此，您最终也将面临theta（n ^ 2）的复杂性。

Answer 2

作为递归函数，如果不应用任何tail-call优化，那么在这种情况下，考虑到它在内存堆栈上的执行，它的空间复杂度肯定至少为O(n)。但是让我们进一步分析：

时间复杂度

我们知道sum是递归的，其终止条件是输入数组为单一长度时。因此我们知道，考虑到大小为Sum的输入数组，在最坏的情况下O(n)将至少被调用n次。考虑一下递归的含义，即。例如，循环。

但是，在函数内，我们有切片操作。切片操作l[a:b]是O(b-a)，因此此操作在第一次运行中的复杂度为O(n-1)，在第二次运行中的复杂度为O(n-2)，依此类推。我们最初认为，它将执行整个数组的副本。此函数的整体时间复杂度应为O(n^2)，因为它会以大小为n的数组为每个项目创建一个切片。

空间复杂度

现在谈论内存空间。

len(a) == 1

在这里，我们从len（a）的返回值中获得了一个副本。

return a[0]

＆

    return a[0] + sum(a[1:])

在以上两行中，我们将有一个值的另一个副本，该副本将存储在函数的返回地址中。该切片还具有O(n)的空间复杂度。

看到这一点，并考虑到编译器未应用重大突破的优化，例如reduction，我们说此函数的空间复杂度为O(n)，因为它将使<每个输入的“ strong>恒定个副本数，并且将以大小为n的数组执行切片操作。

由于我们从一开始就说过递归就像一个循环，因此考虑到没有尾调用优化，在最坏的情况下，整个功能将执行n次。该程序将增加函数的内存堆栈，直到达到停止条件为止，直到最终可以从调用堆栈中“弹出”返回值为止。因此，总空间复杂度也为O(n*log n)（因为每次执行时输入数组较小）。

Ps：

根据this，我还认为len(a)的时间复杂度为O(1)。