Question

我有一个问题，一个OK-ish解决方案。我希望那里有更好的解决方案。

问题

我有一个大约有200,000个整数的数组。给定两个索引i1和i2，我需要计算i1和i2之间所有元素的总和。数组中的每个整数都介于1和4之间。例如：

a = [1, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 1];
subsection_sum(a, 0, 3); // returns 6: (1 + 3 + 2)

此操作将执行大约200,000次，因此需要非常快。 for循环中的一个简单计数器是O（n），而且太慢了。在构建之后，阵列永远不会被修改，因此可以进行相对昂贵的预处理阶段。

到目前为止我的最佳解决方案

此算法适用于O（log n）时间：

首先用零填充原始数组，直到其长度为2的幂。接下来，将数组拆分为两个相等的部分并存储每个的总和。然后将数组拆分为四分之一并存储每个数组的总和。然后是八分之一。继续这样做，直到数组被分成2个元素长的部分。对于上面的8元素数组，这需要两个步骤：

halves = [(a[0] + a[1] + a[2] + a[3]), (a[4] + a[5] + a[6] + a[7])]
quarters = [(a[0] + a[1]), (a[2] + a[3]), (a[4] + a[5]), (a[6] + a[7])]

然后给出两个索引，现在可以在O（log n）时间内计算subsection_sum。例如，subsection_sum（a，2,7）== quarters [1] + halfves [1]。

Answer 1

引入包含累积和的辅助数组。也就是说，辅助数组的元素i具有原始数组的元素0到i的总和。然后，子阵列总和只是辅助阵列中两个元素的差异。这将以恒定的时间O(1)给出结果。

这取决于问题中给出的subsection_sum函数的不变量：

subsection_sum(a, 0, i2) = subsection_sum(a, 0, i1) + subsection_sum(a, i1, i2)

我假设i1 <= i2。重新安排，我们有：

subsection_sum(a, i1, i2) = subsection_sum(a, 0, i2) - subsection_sum(a, 0, i1)

请注意，右侧的总和均来自0。可以将辅助数组视为缓存所有subsection_sum(a, 0, i)的零i之和的值。

Answer 2

如果您能够支付O(n)额外存储空间，则可以创建一个查找表，其i元素是索引0到i（包括{，1}}的元素之和）在输入数组中。在伪代码中：

def computeLookupTable(arr):
    let n = arr.length
    let lookupTable = new Array()

    lookupTable[0] = arr[0]

    for i=1 to n:
        lookupTable[i] = arr[i] + lookupTable[i-1]

    return lookupTable

然后你可以使用这个表来计算array和i1之间i2之间所有元素的总和。

lookupTable[i2] - lookupTable[i1]

需要一段时间。

找到任意子数组中所有项的总和的最佳算法是什么

2 个答案: