具有多个起点的最短路径的算法

Question

我有多个起点（蓝色圆圈）和多个终点（绿色方块），如下图所示：

• 我知道每个起点和终点之间的距离。
• 每个起点只能有一定数量的目的地。

我想找到最有效的原点-目的地组合，以使总距离最小。

唯一想到的是某种背包问题，但是我真的不知道如何进行，因为这里的物品没有恒定的“重量”（距离）。

Answer 1

假设您有一个距离矩阵W，其中W[i][j]是起点i与终点j之间的距离，则可以将问题表示为二进制整数程序，其中如果将目的地b[i][j]分配给起点j，则i为1，否则为0。如果我们填满容量

min sum_{i,j} w[i][j]*b[i][j]
subject to
sum_j b[i][j]=capacity[i] for all i (1)
sum_i b[i][j]<=1 for all j(2)

约束（1）说，每个原点都被装满了。约束（2）表示没有将目的地分配给超过1个起点。 如果有足够的容量容纳所有目的地，那就解决

min sum_{i,j} w[i][j]*b[i][j]
subject to
sum_j b[i][j]<=capacity[i] for all i 
sum_i b[i][j]=1 for all j 

我认为第二种说法是Multiple knapsack problem的版本。

因此，您可以做的是检查第二种说法是否有可行的解决方案，如果没有， 解决第一个。您可以使用MIPS求解器。