具有资源约束的最短路径

Question

我有一个有向无环图，需要找到资源有限的最短路径。我的约束是所选路径必须具有消耗的最小设置资源数。

目前我使用Yen's K Shortest Path algorithm来计算K个最短路径，然后只接受那些满足我约束的路径。这里的问题在于猜测K，就好像它被错误地选择一样，可能找不到可行的路径。

我发现了很多关于这个主题的文献，this提供了一个很好的概述。但是，我正在努力理解它并找到一个能够实现的简洁算法（我使用的是Python，但是任何明确的算法思想都会很棒）。

我知道这个问题是NP-Complete，因此我对任何好的近似算法以及精确的方法感兴趣。

任何人都有任何好的建议吗？

Answer 1

您可以做的是将图表(V,E)转换为(V',E')其中

• P(v)是原始节点v
的价格
• R是最大的资源使用量。
• V' = {(v,k) | v in V and k in [0..R]}
• E'((v,k),(w,l)) = E(v,w) and k+P(w)=l

然后你从(v0,P(v0))进行dijkstra搜索。如果可以找到v1的路径，则给定限制，到达它的最短距离将是(v1,k)顶点中最短的。

您显然不会创建实际的展开图。你修改过的dijkstra会发生什么，除了到目前为止的距离，你还可以保持资源的使用。如果它没有超过限制，你只会遵循一条路径。而不是保留dist[v]，您将保留dist[v,k]代表到目前为止的最短路径，使用完全k资源。

如果您的资源限制非常大，这可能会增长很大。因此NP完整性。但是，如果您的资源限制很小，或者您不介意舍入到最接近的10,100或1000，它将以快速多项式时间运行。 特别是如果您在达到可用(v1,k)后实施停止优化。

Answer 2

将此问题解决为k最短路径会因您不知道如何选择k而受到影响。

将其作为已接受的答案提出来解决，您需要为从源到节点v到达的所有不同路径中的k的潜在所有k值保持dist[v,k]这一事实（这会导致算法效率非常低） 。

存在用于解决该问题的伪多项式时间算法，正如您所期望的那样，称为“具有资源约束的最短路径问题”（SPPRC）。问题常常出现在车辆路径问题（VRP）和船员配对问题中（两者都是运输问题，主要在运营研究中处理）。作为起点，请参阅以下（评论）论文：S。Irnich＆amp; G. Desaulniers，“资源限制的最短路径问题”，G。Desaulniers，J。Desrosiers，M。Solomon（编辑）：Column Generation，Springer，2005。

您可以谷歌搜索论文的标题，您应该可以免费下载。我应该提一下，你的问题有一个不寻常的约束结构：即，你需要“花费”至少一定数量的资源，而不是确保你不花费“太多”的资源...