Question

您好，我刚刚解决了这个leetcode问题：https://leetcode.com/problems/coin-change-2/

目标是找到coins的不同可能组合的数量，假设每种面额的硬币数量都无限，我们可以用来生成amount。

我知道这个问题有一个在O(amount*len(coins))中运行的DP解决方案，我可以在下面的解决方案中添加备注以实现该目的。

但是，我正在努力寻找以下朴素方法的时间复杂度：

def change(amount, coins):
    def helper(amount, coins, id):
        if amount == 0:
            return 1
        res = 0
        for i in range(id, len(coins)):
            if coins[i] <= amount:
                res += helper(amount - coins[i], coins, i)
        return res

    res = helper(amount, coins, 0)
    return res

所以我实际上是在做DFS，在回溯和移动到下一个硬币之前，我会尽量使用第一个硬币。因此，一旦我开始使用下一个硬币，就不能再使用第一个硬币->这样一来，我就可以不计算结果中的排列。

我知道此解决方案的时间复杂度为O(exponential)，我也知道它为O(V + E)，因为它是DFS。

有人可以给出时间复杂度的确切形式吗？指数项到底是什么？或者如何计算图形中的边和顶点？

Answer 1

假设与n相比，数量n很大，每个硬币的值很小，并且硬币阵列的大小为c。实际上，在最坏的情况下，我们可以假设每个硬币的价值约为1。在代表您的解决方案构建的调用堆栈的树中，每个节点将分支c次。树的每一层都从n中减去硬币的值（在最坏的情况下约为1），因此树的深度（或高度）将为n。因此，我们正在看一个高度为n的C分支树。顶点数V = c ^ 0 + c ^ 1 + c ^ 2 + c ^ 3 + ... + c ^（n-1）+ c ^ n。您可以看到该系列简化为here的内容。边数E的计算类似。该算法的时间复杂度为O（c ^ n）。

Answer 2

这里要注意的几件事

动态编程是一个概念或想法。它本身不是算法。这是一种用于延长某些算法运行时间的技术，在这些算法中，子问题可能会重叠并使用预先计算的结果。有可能所有子问题都不重叠，这是人们谈论的最坏情况。
因此，我们假设没有子问题重叠，并且采用自上而下的方法，并且您有 c ₁，c ₂，... c _n 作为您的硬币面额

我认为，下面的方法会起作用，

因此自上而下的方法看起来像这样

一些路径将以以0结尾的叶子终止。（该方法产生了初始量 k 的完美分割）。有些没有。

为复杂起见，让我们假设它们都做到了。

因此，在任何给定级别上，您都有 n ^level_num 个节点。而且您必须遍历树的每个节点。

最长的路径是您不断从初始数量 k 中删除最小面额的地方。 i.i k / c ₁

因此，您的情况下的真实时间复杂度为 O（1 + n ¹ + n ² + .... n ^{k / c ₁}）

大多数此类问题的硬币有效面额为1（或其他一些小数），以简化该表达式并使GP易于计算

这种硬币兑换组合算法的时间复杂度是多少？

2 个答案: