背包问题的近似算法不存在

Question

我正在做以下练习：证明如果$ P \ neq NP $，则不存在用于背包问题（KP）的近似算法$ A $，使得$ \存在\ mathhbb {N} ，\ forall I \ in S：OPT（I）-P_A（I）\ leq k $其中$ OPT（I）$是实例$ I $的最优利润，$ P_A（I）$是由$计算得出的利润A $。

我知道KP有FPTAS $ A'$，它可以保证在任何实例$ I上获利$ P_ {A'}（I）\ geq（1-\ varepsilon）OPT（I）$ $和$ \ varepsilon> 0 $。

我的方法是制造矛盾。为此，我考虑$ A = A'$，目的是证明$ P_A（I）\ geq（1-\ varepsilon）OPT（I）\ geq ... \ geq OPT（I）-c $其中$ c \ （0,1）$中的一个常量。这样，对于$ \ varepsilon $的适当选择，我将证明我们在多项式时间内获得了最优解。但是，我很难选择$ \ varepsilon $。

我需要一些有关如何进行的建议。提前非常感谢！

Answer 1

矛盾更加微妙。

通过将I' I倍的项的所有值增加来考虑从I派生的实例n。最优利润Opt(I')是n的最优利润的{倍，Opt(I)乘以A的最优利润，这两个问题的解决方案都由相同的一组项目构成（证明！）。

因此，如果Opt(I') - k找到了Opt(I) - k/n解决方案，它也会找到一个n。对于任何给定的A ，使I足够大，得出结论Opt(I) * (1 - eps)会比eps 更好地解决任何实例n > k。

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对于整数值，取任何A'就足够了。对于真实值，您需要做更多的工作，即证明eps不是通用的，但必须依赖Property。